复变函数和积分变换第二版本-3.3 柯西积分公式.ppt

* 第三章 复变函数的积分 §3.3 柯西积分公式 §3.3 柯西积分公式 一、柯西积分公式 二、平均值公式 三、最大模原理 D C 一、柯西积分公式 G d 定理 如果函数 在区域 D 内解析， 在边界 C 上连续， 证明 (思路) 如图，以 为圆心，d 为半径作圆 G，则 左边 右边 | 右边 - 左边 | 则 P66 定理 3.7 (跳过?) 在边界 C 上连续， 则 一、柯西积分公式 定理 如果函数 在区域 D 内解析， D d G C 证明 (思路) (当 充分小时) | 右边 - 左边 | 即只要 d 足够小，所证等式两边的差的模可以任意小， 由于左边与右边均为常数，与 d 无关，故等式成立。 在边界 C 上连续， 则 一、柯西积分公式 定理 如果函数 在区域 D 内解析， D d G C 意义 将 换成 ，积分变量 换成 ， 解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。 换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种 特定的积分形式表达出来。 则上式变为 是多连域。 一、柯西积分公式 注意 柯西积分公式中的区域 D 可以 应用 推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。 比如对于二连域 D , 其边界为 ， D C1 反过来计算积分 则 P67 推论 2 在 上解析 其中 C 为： 例 计算 (1) (2) C1 C2 2 1 0 (1) 解 (柯西积分公式) (2) (柯西积分定理) (函数 在 上解析) C1 C2 令 解 则 令 C1： C2： 其中 C 如图所示。 例 计算 C 2 0 1 则 (复合闭路定理) (柯西积分公式) C 2 0 3 - 3 解 试考虑积分路径为 的情况。 P67 例3.10 部分 二、平均值公式 如果函数 在 内解析， 定理 (平均值公式) 在 上连续， q x R y C 证明 由柯西积分公式有 则有 P67 推论 1 (连续函数的平均值) D 三、最大模原理 如果函数 在 D 内解析，且不为常数， 定理 (最大模原理) 证明 (略) 则在 D 内 没有最大值。 理解 如图，函数 在解析区域 d G d G d G D 内任意一点 的函数值是 以该点为圆心的圆周上所有 点的函数值的平均值， 因此， 不可能达到最大， 除非 为常数。 P68 定理 3.8 三、最大模原理 在区域 D 内解析的函数，如果其模在 D 内达到最大值， 推论 1 则此函数必恒为常数。 若 在有界区域 D 内解析，在 D 上连续，则 推论 2 在 D 的边界上必能达到最大值。 P70 推论1 P70 推论2 由最大模原理及其推论可知， 证 在 上的最大值 必在 上取得， 因此，当 时，有 即 是 r 的单调上升函数。 即 P70 例3.11 休息一下 …… 附： 连续函数的平均值(以平均气温为例) 设某时间段内的温度函数为 将 n 等份，等分点为 记 即 t a b 平均气温 平均气温 (返回)