复变函数和积分变换第二版本-2.3 初等函数.ppt

* 第二章 解析函数 §2.3 初等函数 §2.3 初等函数 一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四、三角函数 五、反三角函数 六、双曲函数与反双曲函数 复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们 两者是一样的。 §2.3 初等函数 的定义方式尽可能保持一致。 本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数： 映射关系等等。 定义、定义域、运算法则、连续性、解析性、单值性以及 特别是当自变量取实值时， 特别要注意与实初等函数的区别。 一、指数函数 对于复数 称 定义 为指数函数 , 记为 或 注 (1) 指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等函数 都通过指数函数来定义。 (2) 借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆： P41 定义 2.5 一、指数函数 性质 (1) 是单值函数。 事实上，对于给定的复数 定义中的 均为单值函数。 事实上，在无穷远点有 (2) 除无穷远点外，处处有定义。 当 时， 当 时， (3) 因为 性质 事实上，由 有 (6) 是以 为周期的周期函数。 事实上， 一、指数函数 (w) (z) y x w y v u (w) 一、指数函数 (7) 映射关系： 性质 由 有 由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。 x z y 二、对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数。 记作 即 满足方程 的函数 称为对数函数， 定义 计算 令 由 有 由 z 的模得到 w 的实部 ； 由 z 的辐角得到 w 的虚部 。 P43 定义 2.6 二、对数函数 显然对数函数为多值函数。 主值(枝) 称 为 的主值(枝)， 记为 故有 分支(枝) 特别地，当 时, 的主值 就是实对数函数。 对于任意一个固定的 k，称 为 的 一个分支(枝)。 二、对数函数 性质 在原点无定义，故它的定义域为 (1) (2) 的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续； 在除去原点及负实轴的平面内连续。 特别地， 注意到，函数 在原点及负实轴上不连续。 注意到， 函数 在原点无定义； 或者指数函数 由反函数求导法则可得 进一步有 (在集合意义下) 二、对数函数 性质 (3) 的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析； 在除去原点及负实轴的平面内解析。 特别地， 主值 解 (1) (2) 主值 解 主值 求对数 以及它的主值。 例 ▲ 可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。 P43 例2.11 三、幂函数 称为复变量 z 的幂函数。 还规定：当 a 为正实数，且 时， ( 为复常数， ) 定义 函数 规定为 注意 上面利用指数函数以一种“规定”的方式定义了幂函数， 但不要将这种“规定”方式反过来作用于指数函数， ? 即 P45 定义 2.7 讨论 此时， 处处解析，且 当 为正整数时, (单值) (1) 此时， 除原点外处处解析，且 当 为负整数时, (2) (单值) 当 时, (3) 三、幂函数 讨论 其中，m 与 n 为互质的整数，且 (5) 当 为无理数或复数( )时， 当 为有理数时, (4) ( 值) n 此时， 除原点与负实轴外处处解析， 一般为无穷多值。 此时， 除原点与负实轴外处处解析。 且 三、幂函数 解 可见， 是正实数， 它的主值是 例 求 的值。 求 的值。 例 解 可见，不要想当然地认为 P46 四、三角函数 启示 由欧拉公式 有 余弦函数 正弦函数 定义 P47 定义 2.8 四、三角函数 性质 周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样； 各种三角公式以及求导公式可以照搬； 有界性(即 )不成立。 (略) 例 求 根据定义，有 解 例 求 根据定义，有 解 五、反三角函数 记为 如果 定义 则称 w 为复变量 z 的反余