复变函数和积分变换第二版本-2 复变函数试题.ppt

* 复变函数与积分变换试题(一) 试题 2002 * 复变函数与积分变换试题(一) 解答 2002 一、填空题 (1) 的模为 ，辐角主值为 .。 . (2) 的值为 的值为 ， .。 (3) 伸缩率为 处的旋转角为 映射 w = z3 - z 在 z = i .。 ，. (4) 在区域 D 内解析的 函数 .。 充要条件为 复变函数与积分变换试题(一) (7) .。 (5) 在 z0 = 1 + i 处展开成泰勒级数的 .。 收敛半径为 的何种类型的奇点? (6) z = 0 是 .。 (8) ， 已知 .。 求 二、 验证 z 平面上的调和函数，并求以 为实部的解析函数，使 是 三、将函数 分别在 与 处展开为 洛朗级数。 四、计算下列各题 1. 3. 2. 4. ， ，求 。 5. 已知 六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。 i -i 五、求区域 在映射 下的像。 八、设函数 在 上解析，证明 七、用拉氏变换求解微分方程 一、填空题 (1) 的模为 ，辐角主值为 .。 . (2) 的值为 的值为 ， .。 (3) 伸缩率为 处的旋转角为 映射 w = z3 - z 在 z = i .。 ，. (4) 在区域 D 内解析的 函数 .。 充要条件为 复变函数与积分变换试题(一) 解答 1 4 u , v 在 D 内可微，且满足 C - R 方程 (7) .。 (5) 在 z0 = 1 + i 处展开成泰勒级数的 .。 收敛半径为 的何种类型的奇点? (6) z = 0 是 .。 (8) ， 已知 .。 求 可去奇点 0 故 u(x , y) 为调和函数。 (1) 解 二、 验证 z 平面上的调和函数，并求以 为实部的解析函数，使 是 (2) 方法一：偏微分法 由 由 即得 (2) 方法二：全微分法 解 即得 由 有 (3) 由 二、 验证 z 平面上的调和函数，并求以 为实部的解析函数，使 是 解 (1) 在 z = 1 处展开 ① 当 时， 三、将函数 分别在 与 处展开为 洛朗级数。 1 2 解 (1) 在 z = 1 处展开 ② 当 时， 1 2 三、将函数 分别在 与 处展开为 洛朗级数。 ① 当 时， ② 当 时， 1 2 解 (2) 在 z = 2 处展开 三、将函数 分别在 与 处展开为 洛朗级数。 四、 1. 解 方法一 利用留数求解 z = 0 为二级极点， 原式 方法二 利用高阶导数公式求解 原式 原式 2. 四、 解 z = 1 为本性奇点， 3. 四、 (1) 原式 = 解 令 则 原式 3. 四、 (1) 解 原式 (2) 记 则 有两个一级极点： ( 不在 内) 原式 = 在上半平面有两个一级极点 4. 四、 令 解 原式 (1) 当 时， ， ，求 。 5. 已知 四、 (2) 当 时， 解 0 (z) i 五、求区域 在映射 下的像。 解 (1+i)/2 (w) 0 2 1 i i/2 1+i 1 - i i -i (z) 六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。 解 (z2) (z1) (w) 七、用拉氏变换求解微分方程 代入初值得 求解得 对方程两边取拉氏变换得 解 (1) 令 解 (2) 求拉氏逆变换 方法一 利用部分分式求解 七、用拉氏变换求