复变函数和积分变换-6.3 分式线性映射.ppt

中一个交点 映射为无穷远点， 本例的重要启示 (1) 区域 D 很特别！ 圆弧围成，它们相交于 和 ； (2) 映射很特别！ 它的分母 将其 它的分子 将另一个交点 映 射为原点。 顶点在原点的角形域。 它的边界由两段 从而将区域 D 映射为 五、保对称点性 引理 扩充复平面上两点 关于“圆” C 对称的充要条件是 过 的任意“圆” 都与 C 正交。 (1) 当 C 为直线时，结论显然(?)成立。 (2) 当 C 为半径有限的圆， 且在 和 中有一个 为无穷远点时， 结论 显然(?)成立。 P149 引理6.1 (一道中学的几何题，跳过?) 证明 五、保对称点性 引理 扩充复平面上两点 关于“圆” C 对称的充要条件是 过 的任意“圆” 都与 C 正交。 证明 且 和 均为有限点， (3) 设 C 为半径有限的圆， R 必要性 “ ” 已知 关于 C 对称，且 为过 的任意一个圆， [当 为直线时， 如图，设 与 C 交于 点， 故 与 C 正交。 由切割线定理有， 为的 切线， 即 时， 显然与 C 正交 ] 则有 且 和 均为有限点， 五、保对称点性 引理 扩充复平面上两点 关于“圆” C 对称的充要条件是 过 的任意“圆” 都与 C 正交。 证明 (3) 设 C 为半径有限的圆， 充分性 “ ” 已知过 的任意圆都与 C 正交， [由过 的圆 与 C 正交， 又 与 C 正交，故 为的 切线， 故 关于 C 对称。 由切割线定理有 R 故 被 C 隔开， 知 与圆心 O 共线 ] 五、保对称点性 的象点 也关于象曲线 对称。 设点 关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们 定理 证明 (1) 设 是过点 的任意一个“圆”， 由于分式线性映射具有双方单值性和保圆性， 因此 的原像 一定是过点 的一个“圆”； P150 定理 6.7 五、保对称点性 (2) 根据引理的必要性可得， 与 C 正交， 由于分式线性映射具有保角性，故 与 正交， 再根据引理的充分性可得，点 关于 对称。 的象点 也关于象曲线 对称。 设点 关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们 定理 证明 分析 六、唯一决定分式线性映射的条件 分式线性映射 中含有四个常数 如果用这四个数中的一个去除分子和分母，则可以将 分式线性映射中的四个常数化为三个独立的常数。 由此可见，只需要给定三个条件，就能决定一个分式 线性映射。 P151 定理 6.8 六、唯一决定分式线性映射的条件 设分式线性映射为 ， 证明 (仅证明存在性) 代入条件得 同理 设分式线性映射为 ， 六、唯一决定分式线性映射的条件 证明 (仅证明存在性) 代入条件得 同理 将上式整理后，即得到所要的分式线性映射。 注 (1) 由于分式线性映射具有保圆性， 为过 三点的圆。 把过 三点的圆映射 直接应用于： (2) 如果 和 中有一个为 将对应点公式中含有 的项换成