复变函数和积分变换第1章复数和复变函数.ppt

定理1.5设函数f(z)在有界闭区域E上连续，则f(z)在E上有界，即 M＞0，使得 z∈E，有|f(z)|≤M.定理1.6设函数f(z)在有界闭区域E上连续，则函数f(z)在E上可取到最大模与最小模，即 ，使得 z∈E，有以上结论都可由微积分中相应结果推得. 关于无穷大，有下列极限定义：定义1.14设函数w=f(z)在点z0的某个去心邻域内有定义，若对任一正数A， δ＞0，当0＜|z-z0|＜δ时，有|f(z)|＞A，则称当z趋向于z0时，f(z)的极限为无穷大，记作定义1.15设函数w=f(z)在点∞的某个邻域内有定义，若存在一复数A，使得 ε＞0，ρ＞0，当|z|＞ρ时，有|f(z)-A|＜ε，则称A为f(z)当z趋向于∞时的极限，记作  例1.18????  习题11.求下列复数的实部与虚部，共轭复数，模与辐角.??2.如果等式 成立，试求实数x，y为何值.3.试证虚数i单位满足：4.求 的模. 5.试证：6.将下列复数化成三角表示式和指数表示式.??7.当|z|≤1时，求 的最大值，其中n为正整数，a为复数.8.一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？ 9.判别下列命题的真假.（1）若c为实数，则（2）若z为纯虚数，则（3）2i＜3i（4）arg 0=0（5）方程 仅有一个根10.如果 试证明?? 11.求方程 的所有根.12.求下列各式的值.?? 13.指出下列各题中点z的存在范围，并作图. 14.描出下列不等式所确定的区域，并指出是有界的还是无界的，闭的还是开的，单连的还是多连的.??? 15.证明复平面上的圆周方程可写为： (其中α为复常数，c为实常数).16.求下列方程（t是实参数）给出的曲线.? 17.函数 将z平面上的下列曲线变成w平面上的什么曲线(z=x+iy,w=u+iv)？?18.试求? 19.试证 不存在.20.试证arg z(－πarg z≤π)在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续.21.设函数f(z)在 处连续，且 证明存在 的邻域使f(z)≠0.22.如果f(z)在点 处连续，证明f(z),f(z)也在点 处连续.? * * * 将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有?化简得?记α=a+ib，β=2c，便得结论.（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.(4) 方程 表示一个圆周.  1.1.5无穷远点与扩充复平面取一个与 相切于坐标原点O的球面S.过O作与复平面相垂直的直线，该直线与球面S交于另一点N，O和N分别称为球面的南极和北极（图1.7）. 图1.7 在复平面上任取一点z，则连接z和N的直线必交于球面上唯一的异于N的点P；反之，若P为球面上任意一个异于N的点，则连接NP的直线必交复平面上唯一的一点z.这样就建立起球面上除去北极N外的点P与复平面上点z之间的一一对应关系，我们称P为z在球面上的球极射影，如果z的模愈大，则它的球极射影就愈靠近北极N，因此，北极N可以看作复平面上一个模为无穷大的理想点的对应点，这个理想点称为无穷远点，并记为∞，复平面上加上点∞后就称为扩充复平面，通常记为 ，即 与之对应的是整个球面，称为复球面，换言之，扩充复平面的一个几何模型就是复球面. 最后需要指出的是，扩充复平面 上只有一个无穷远点∞，它是一个确定的复数，对∞来说，其实部、虚部与辐角均无意义，仅规定其模|∞|=+∞.关于∞我们规定其运算如下：①a为有限复数，则?②∞±∞，0·∞, 均无意义.在本书中，今后若无特别声明，所涉及的复数都是指有穷复数.   1.2复平面点集1.2.1平面点集定义1.1设z0∈ ，δ为正数，称集合{z||z-z0|＜δ}为点z0的δ邻域，记为Nδ(z0),称集合{z