复变函数和积分变换第二版本-1.5 复变函数.ppt

* 第一章 复数与复变函数 §1.5 复变函数 §1.5 复变函数 一、基本概念 二、图形表示 三、极限 四、连续 一、基本概念 在以后的讨论中，D 常常是一个平面区域，称之为定义域。 按照一定法则，有确定的复数 w 与它对应， 一般情形下，所讨论的“函数”都是指单值函数。 上定义一个复变函数，记作 定义 设 D 是复平面上的一个点集，对于 D 中任意的一点 ， z 对每个 有唯一的 w 与它对应； 单值函数 比如 多值函数 对每个 有多个 w 与它对应； 比如 则称在 D 一、基本概念 一个复变函数对应于两个二元实变函数。 分析 则 可以写成 设 其中， 与 为实值二元函数。 分开上式的实部与虚部得到 分开实部与虚部即得 代入 得 解 记 P21 例1.13 G G 二、图形表示 C 映射 复变函数 在几何上被看作是把 z 平面上的一个 平面 z 平面 w 点集 变到 w 平面上的一个点集 的映射(或者变换)。 其中，点集 称为像，点集 称为原像。 函数、映射以及变换可视为同一个概念。 (分析) (几何) (代数) D z x y w u v 二、图形表示 反函数与逆映射 双方单值与一一映射 为 w 平面上的点集 G， 设函数 的定义域为 z 平面上的点集 D，值域 的一个(或几个)点 z， 一个函数 它称为函数 的反函数，也称 为映射 的逆映射。 若映射 与它的逆映射 都是单值的， 则称映射 是双方单值的或者一一映射。 则 G 中的每个点 w 必将对应着 D 中 按照函数的定义，在 G 上就确定了 解 (1) 点 对应的像(点)为 (2) 区域 D 可改写为： 令 则 可得区域 D 的像(区域)G 满足 即 P22 函数 对应于两个二元实变函数 例 因此，它把 z 平面上的两族双曲线 分别映射成 w 平面上的两族平行直线 x y 1 -1 -1 1 -6 -10 -8 -4 -2 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 u v 10 10 -10 -10 2 4 6 8 10 0 c1 c2 0 三、极限 定义 设函数 在 的去心邻域 内有定义 , 若存在复数 使得 当 时， 有 记作 或 注 (1) 函数 在 点可以无定义； (2) 趋向于 的方式是任意的。 则称 A 为函数 当 z 趋向于 z0 时的极限， P23 定义 1.1 x y z0 d 几何意义 三、极限 它的像点 就落在 A 的预先给定的 e 邻域内。 u v A e 当变点 一旦进入 的充分小的 d 邻域时, z0 z f (z) z 性质 如果 则 三、极限 定理 三、极限 设 证明 如果 则 当 时， 则 必要性 “ ” P23 定理 1.1 (跳过?) 证明 充分性 “ ” 则 当 时， 如果 定理 设 三、极限 则 三、极限 关于含 的极限作如下规定： (3) 所关心的两个问题： (1) 如何证明极限存在？ (2) 如何证明极限不存在？ 选择不同的路径进行攻击。 放大技巧 。 (1) (2) x y 讨论函数 在 的极限。 例 当 时， 当 时， 因此极限不存在。 解 方法一 P24 例1.15 解 当 时， 当 时， 因此极限不存在。 方法二 x y 方法三 沿着射线 与 有关，因此极限不存在。 讨论函数