复变函数和积分变换51孤立奇点.ppt

课件 f(z)在z=0处洛朗展式中 不含正幂项，则z=∞为可去奇点； 含有限多项的正幂项且最高项为zm，则z=∞为m级极点； 含有无穷多项的正幂项，则z=∞为本性奇点。 * 课件 第五章 留数 §1 孤立奇点 课件 函数不解析的点为奇点.如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点. 课件 函数 f (z)在它的孤立奇点z0的某去心邻域0|z-z0|d内展开成洛朗级数. 孤立奇点的分类： 可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则孤 立奇点z0称为 f (z)的可去奇点. 这时, f (z)= c0 + c1(z-z0) +...+ cn(z-z0)n +.... 0|z-z0|d , 则在圆域|z-z0|d 内就有 f (z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n +...,从而函数 f (z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点. 课件 课件 2. 极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项, 且其中关于(z-z0)-1的最高幂为 (z-z0)-m, 即f (z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+... (m?1, c-m?0),则孤立奇点z0称为函数 f (z)的m级极点. 上式也可写成 其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +... , 在 |z-z0|d 内是解析的函数, 且 g (z0) ? 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 g (z0) ? 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点. 课件 如果z0为 f (z)的极点, 由(*)式, 就有 3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点. 课件 综上所述: 我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型. 课件 4.函数的零点与极点的关系 不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成f (z) = (z-z0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0) ? 0, m为某一正整数, 则z0称为f (z)的m级零点. 例如当 f (z)=z(z-1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点. 根据这个定义, 我们可以得到以下结论:如 f (z)在z0解析, 则z0是 f (z)的m级零点的充要条件是 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1), f (m)(z0)?0 . 课件 这是因为, 如果 f (z)在z0解析, 就必能在z0的邻域展开为泰勒级数: f (z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，易证 z0是 f (z)的m级零点的充要条件是前m项系数 c0=c1=...=cm-1=0, cm?0, 这等价于 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1), f (m)(z0)?0 。 例如 z=1是f (z)=z3-1的零点, 由于 f (1) = 3z2|z=1=3 ? 0, 从而知 z=1是f (z)的一级零点. 定理 如果 z0是 f (z)的m级极点, 则z0就是 的m级零点, 反过来也成立. 课件 例 2 课件 例 3 对 讨论函数 在 处的性态。 课件 5. 函数在无穷远点的性态 如果函数 f (z)在无穷远点 z=? 的去心邻域 R|z|?内解析, 称点?为 f (z)的孤立奇点. 作变换 把扩充z平面上?的去心邻域 R|z|+?映射成扩充w平面上原点的去心邻域： 又 .这样, 我们可把在去心邻域R|z|+?对f (z)的研究变为在 内对j (w)的研究.显然j (w)在 内解析, 所以w=0是孤立奇点. f (z)在无穷远点 z=? 的奇点类型 等价于j (w)在w=0的奇点类型。 课件 *