函数插值和最小二乘拟合.doc

湖南电大教学指导中心 PAGE 1 PAGE 10 第11章 函数插值与最小二乘拟合 典型问题解析 考试知识点：拉格朗日插值多项式、均差与牛顿插值多项式、直线拟合、二次多项式拟合。（18-21%） 考试题型：选择题、填空题、计算题、证明题。 学习要点：拉格朗日插值多项式、均差与牛顿插值多项式、分段插值、最小二乘法 典型问题解析： 1. 拉格朗日插值多项式 n次插值多项式 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x 其中基函数 (k=0,1,2,…，n) 且Pn(xk)=yk(k=0,1,2…,n). f(x)?Pn(x) 注意：过n+1个互异节点，所得插值多项式应该是次数不超过n的多项式． 特例：当n=1时，线性插值 P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x) 其中基函数 , （过2个互异节点，所得插值多项式是直线） 当n=2时，二次插值. P2(x)=yk-1lk-1+yklk+yk+1lk+1 其中基函数 （过3个互异节点，所得插值多项式是次数不超过2的多项式） 拉格朗日插值多项式的余项为 其中， 例1 已知数据表 xk 10 11 12 13 f(xk) 2.302 6 2.397 9 2.484 9 2.564 9 试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数)．并回答用线性插值计算f(11.75)，应取哪两个点更好？ 解 因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值．先作插值基函数． 已知x0=11, y0=2.397 9，x1=12, y1=2.484 9 ，x2=13, y2=2.564 9 P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2 P2(x)= f(11.75)?P2(11.75)= =2.463 8 若用线性插值，因为所求点x＝11.75在11与12之间，故应取x=11,x=12作线性插值合适． 注：在作函数插值时，应根据要求，使所求位于所取的中央为好，任意取点一般近似的效果差些． 例2 已知函数y=f(x)的数据为 xk －2 0 4 5 yk 5 1 －3 1 试构造拉格朗日多项式Pn (x)，并计算P(－1)。 解 先构造基函数 所求三次多项式为 P3(x)= ＝＋－＋ ＝ P3(－1)＝ 例3 设是n+1个互异的插值节点，是拉格朗日插值基函数，证明： 证明 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x 当f(x)?1时， 1＝ 由于，故有 2. 均差与牛顿插值多项式 均差：函数值之差与自变量之差的商就是均差． 一阶均差 二阶均差 （一阶均差的均差） n阶均差 （n-1阶均差的均差） 均差的性质： (1) 均差用函数值yk的线性组合表示；即 f(x0,x1,x2,…,xn)= (2) 均差与插值节点顺序无关(对称性). (3) n阶均差与导数的关系为： 例4 已知函数y=f(x)的数据如表。计算它的各阶均差。 k Xk f(xk) 0 1 0 1 3 2 2 4 15 3 7 12 解 计算公式为 一阶均差 二阶均差 三阶均差 结果列表中 k Xk f(xk) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 0 1 0 1 3 2 1 2 4 15 13 4 3 7 12 -1 -3.5 -1.25 牛顿插值多项式：以均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式。 Nn(x)= f(x0)＋f(x0,x1)(x－x0)＋f(x0,x1,x2)(x－x0)(x－x1)＋… ＋f(x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1) 牛顿插值多项式的余项为 Rn(x)=f(x)－Nn(x) =f(x, x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn) = = 例5已知函数表 x 0 1 2 3 4 5 F(x) -7 -4 5 26 65 128 求证由此构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数为1。 解：作均差表 xk f(xk) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 0 -7 1 -4 3 2 5 9 3 3 26 21 6 1 4 65 39 9 1 0 5 128 63 12 1 0 因为三阶均差均为常数1，可见该函数表的牛顿插值多项式最高次幂为3次，且其系数为1。 牛顿插值多项式为 Nn(x)= f(x0)＋f(x