公共经济预测和决策 第6章 马尔科夫预测法.ppt

第6章 马尔科夫预测法 概 述 马尔科夫(A. A. Markov)是俄国伟大的数学家。 马尔科夫链是人类历史上第一个从理论上提出并加以研究的随机过程模型。 马尔科夫预测法是应用马尔科夫链的基本原理和基本方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种方法。这种方法在经济预测与经营决策等方面有着广泛的应用。 6.1 马尔科夫链及转移概率 6.1.1 随机过程(Stochasitc Process) 在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类：一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。 确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能确切地知道事物变化的结果。因此，变化过程可用时间的函数来描述。 不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。这样的变化过程称为随机过程。 随机过程是一连串随机事件动态关系的定量描述。 例6.1 设 是北京市未来一天 时刻的温度。显然，对任意指定的时间 ，事先无法确定 的取值，即 是一随机变量，因此 是一随机过程。 例6.2 设 是某市电话局在未来时间 内收到的呼叫次数， 。由于对任意给定的时间 ，事先无法确定 的取值，即 是一随机变量，因此 是一随机过程。 例6.3 设 是未来第 个交易日收盘时的上证指数， ，则 是随机过程。 例6.4 考查未来第 个交易日上证指数的涨跌情况，记 则 是一随机过程。 如果对每个给定的时间 ， 都是一随机变量，就称 是一随机过程。 根据随机变量与时间参数 连续与离散之分，随机过程可分为以下四类： 连续型随机过程 离散型随机过程 连续随机序列 离散随机序列 6.1.2 马尔科夫链 离散随机序列也称时间序列。时间参数空间通常取 ， 习惯上记为 。 所有可能的取值构成的集合称为序列的状态空间，记为 。不妨设 是一个整数集合。 马尔科夫链是指具有无后效性的时间序列。 所谓无后效性是指序列将来处于什么状态只与它现在所处的状态有关，而与它过去处于什么状态无关。 例6.5 考察一个“成熟”股票市场指数的涨跌情况。记 则 是一马尔科夫链。 所谓“成熟”的股票市场是指这样的市场：未来一天指数的涨跌只与未来一天将要公布的信息有关，同时对当前指数的涨跌进行必要的修正。以前股票市场的涨跌对未来一天的涨跌不产生任何影响。 6.1.3 一步转移概率矩阵 在例6.5中， 的状态空间为 。在第 个交易日指数不跌的条件下，第 个交易日指数可能不跌，也可能下跌。同样，在第 个交易日指数下跌的条件下，第 个交易日指数可能不跌，也可能下跌。记 其中， 表示在第 个交易日指数下跌的条件下，第 个交易日指数继续下跌的概率。 这些条件概率称为马尔科夫链的一步转移概率。一步转移概率通常与时间 有关。如果一步转移概率与 无关，我们称马尔科夫链是平稳的。以后提到的马尔科夫链都是指平稳的马尔科夫链。 由一步转移概率构成的矩阵 称为马尔科夫链的一步转移概率矩阵。 定义6.1 设马尔科夫链 的状态空间为 ，用 表示已知 时刻 处于状态 的条件下， 时刻 处于状态 的条件概率，即 ，称 为马尔科夫链的一步转移概率，并称 构成的 阶方阵 为一步状态转移概率矩阵。 一步转移概率矩阵 描述了 时刻系统内各状态到 时刻系统内各状态的变化规律性。 一步转移概率矩阵 的第 行元素实际上是已知 的条件下 的条件分布，因此第 行元素满足如下两个条件： 6.1.4 k步转移概率矩阵 例6.5中，在第 个交易日指数不跌的条件下，第 个交易日指数可能不跌，也可能下跌。类似地，记 其中，