《机械优化设计》习题及答案1.doc

机械优化设计习题及参考答案 1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量使 且满足约束条件 2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答：二元函数f(x1,x2)在x0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式： 令， 则称它为函数f（x1，x2）在x0点处的梯度。 （1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。 （2）梯度与切线方向d垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。 2-2.求二元函数f（x1，x2）=2x12+x22-2x1+x2在处函数变化率最 大的方向和数值。 解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模。求f（x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下： = 2-3.试求目标函数在点X0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解：求目标函数的偏导数 则函数在X0=[1,0]T处的最速下降方向是 这个方向上的单位向量是： 新点是 新点的目标函数值 2-4.何谓凸集、凸函数、凸规划？（要求配图） 答：一个点集（或区域），如果连接其中任意两点x1、x2的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集，否则为非凸集。 函数f(x）为凸集定义域内的函数，若对任何的及凸集域内的任意两点x1、x2，存在如下不等式： 称f（x）是定义在图集上的一个凸函数。 对于约束优化问题 若 都是凸函数，则称此问题为凸规划。 3-1.简述一维搜索区间消去法原理。（要配图） 答：搜索区间（a，b）确定之后，采用区间逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。假设搜索区间（a，b）内任取两点a1，b1 ，a1《b1，并计算函数值f（a1），f（b1）。将有下列三种可能情形； 1）f（a1）《f（b1）由于函数为单谷，所以极小点必在区间（a，b1）内 2）f（a1）》f（b1），同理，极小点应在区间（a1，b）内 3）f（a1）=f（b1），这是极小点应在（a1，b1）内 3-2.简述黄金分割法搜索过程及程序框图。 其中，为待定常数。 3-3.对函数，当给定搜索区间时，写出用黄金 分割法求极小点的前三次搜索过程。（要列表） 黄金分割法的搜索过程 序号 a a1 a2 b Y1 比较 Y2 0 -5 -1.18 1.18 5 -0.9676 3.7524 1 -5 -2.639 -1.181 ？ 1.686 -0.967 2 ？ -1.18 -0.279 1.18 -0.9676 -0.48 3 -2.639 -1.737 -1.181 ？ -0.457 -0.482 3-4.使用二次插值法求f(x)=sin(x)在区间[2,6]的极小点，写出计算步骤和迭代公式，给定初始点x1=2，x2=4，x3=6， ε=10-4。 解： 1 2 3 4 x1 2 4 4.55457 4.55457 x2 4 4.55457 4.73656 4.72125 x3 6 6 6 4.73656 y1 0.909297 -0.756802 -0.987572 -0.987572 y2 -0.756802 -0.987572 -0.999708 -0.999961 y3 -0.279415 -0.279415 -0.279415 -0.999708 xp 4.55457 4.73656 4.72125 4.71236 yp -0.987572 -0.999708 -0.999961 -1 迭代次数K= 4 ，极小点为 4.71236 ，最小值为 -1 ，， 收敛的条件： 4-1.简述无约束优化方法中梯度法、共轭梯度法、鲍威尔法的主要区别。 答：梯度法是以负梯度方向作为搜索方向，使函数值下降最快，相邻两个迭代点上的函数相互垂直即是相邻两个搜索方向相互垂直。这就是说在梯度法中，迭代点向函数极小点靠近的过程，走的是曲折的路线。这一次的搜索方向与前一次的搜索过程互相垂直，形成“之”字形的锯齿现象。从直观上可以看到，在远离极小点的位置，每次迭代可使函数值有较多的下降。可是在接近极小点的位置，由于锯齿现象使每次迭代行进的距离缩短，因而收敛速度减慢。这种情况似乎与“最速下