平面图形的周长-博师堂国际教育.DOC

标准中级奥数教程 平面图形的周长 【知识要点和基本方法】 1．同学们在课堂内所学的三角形、长方形、平行四边形、菱形、梯形、圆、扇形等都可以直接利用公式求得它们的周长，这些图形都是基本平面几何图形，它们是构成复杂平面几何图形的基础，必须熟练掌握，为了便于同学们记忆，分列如下： （1）长方形（图4-1）的周长＝2（a+b） b a a a 图4－1 图4－2 （2）正方形（图4－2）的周长＝4a （3）三角形（图4－3）的周长＝a+b+c，内角和＝180° （4）平行四边形（图4-4）的周长＝2（a+b） （5）梯形（图4－5）的周长＝a+b+c+d （6）菱形（图4－6）的周长＝4a （7）圆（图4－7）的周长＝2πr （8）扇形（图4-8）的弧长L=,周长＝2r+L 2.复杂的平面图形一般是由上述这些基本图形组合而成的，因此复杂的平面图形其周长的计算主要是转化成上述基本图形周长的和、差问题，这就需要同学们从复杂平面图形中找出它们的和、差关系。 【例题精讲】 例1 一个平行四边形分成如图4-9两部分（左边为梯形，右边为三角形），它们的面积差是18.6平方厘米，（梯形面积三角形面积）求梯形上底的长。 分析与解:由已知平行四边形的边长与高，可求得平行四边形面积。它就是梯形面积与三角形面积之和，由条件又知两者之差，进而可得梯形面积。如图4-9 梯形面积+三角形面积＝平行四边形面积＝15×6.2＝93（平方厘米） （1） 又已知 梯形面积-三角形面积＝18.6（平方厘米） [(1)+(2)] ÷2 （2） 梯形面积＝（93+18.6）÷2＝55.8（平方厘米） 利用梯形面积公式，经变得： 梯形上底长＝2×55.8÷6.2-15＝3（厘米） 例2 如图4-10，由大小不全等的9个等边三角形拼成一个六边形，已知中间最小的等边三角形边长为1，问这个六边形得周长是多少？ 分析与解答：由中间最小得等边三角形出发，依次向外扩展求出从小至大得各等边三角形的边长，而所求六边形得六边分别由这些等边三角形的边组合而成。 解 设第二小得等边三角形的边长为a（它们位于左上角，共有三个），则第三大的等边三角形（它们位于右上角，共两个）边长为a+1，进而右下角的两个等边三角形的边长为a+2，最大的等边三角形位于左下角，它的边长为a+3，也等于2a，即有：a+3＝2a 所以 a＝3 于是，六边形的周长为2×a+2×（a+1）+2×（a+2）+a+3＝7a+9＝7×3+9＝30 例3 图4－11是机器上传动带示意图，三个轮子的直径都是2米，三个轮子中心点间距的距离分别是5米、4米和3米，求传动带长度 分析与解答：由于三个轮子中心点间的距离是已知的，要想知道传动带的长度，只要计算出它绕在三个轮子上的长度就行了，由图4-11可以看出，阴影部分所对弧长的和，就是传动带围在三个轮子上的长度之和，而这三条弧刚好是一个轮子之周长。 传动带长度＝一个圆周长+3个中心点间距离的和＝2π+3+4+5＝（2π+12）（米） 例 4如图4-12中等边三角形ABC的边长为6厘米，其中D、E、F分别为各边的中点，分别以点A 点B点C为圆心，AD、BE、CF三条线段的长为半径画弧，那么中间阴影部分的周长是多少厘米？ 分析与解答：解答这道题需要知道三角形内角和是180°，求中间阴影部分的周长，就是求三个相等的圆心角是60°的三个扇形合在一起的弧长，而它正是圆周长的一半。 因为三角形ABC是等边三角形，所以 ∠A＝∠B＝∠C=60° 从而把三个扇形拼合起来，得的恰好是一个半园，所以 阴影部分的周长＝圆周长的一半＝π×6÷2＝3π（厘米） 例5 如下图所示,长方形长4厘米,宽2厘米。现沿其对角线BD对折得到一几何图形,试求图形阴影部分周长. 分析与解答：阴影部分的周长和原来长方形周长是相等的，所以阴影部分的周长等于12厘米。 例6 如下图是一块地，四周都是用篱笆围起来，转弯处都是直角，已知西边的篱笆长17米，南边的篱笆长23米，求篱笆的周长是多少？ 分析与解答：采用平移的方法，将原图形变化为长为23，宽为17的长方形，篱笆的周长和长方形的周长相等为（17＋23）×2=80米 【课后练习题】 1、求图4－15中阴影部分的周长。（单位：厘米，π＝3.14） 2、如图4-16中大圆半径是小圆半径的2倍，求阴影部分