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基础诊断考点突破课堂总结第4讲离散型随机变量及其概率分布考试要求
基础诊断 考点突破 课堂总结 第4讲 离散型随机变量及其概率分布 考试要求 1.取有限个值的离散型随机变量及其概率分布的概念,A级要求;2.概率分布对于刻画随机现象的重要性,A级要求;3.超几何分布及其简单应用,A级要求. 知 识 梳 理 1.随机变量的概率分布 P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 来表示,则称为随机变量X的概率分布表. 具有性质: ①pi 0,i=1,2,…,n; ②p1+p2+…+pn= . 随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 . ≥ 1 概率之和 2.两点分布 如果随机变量X的概率分布表为 X 0 1 P 1-p p 其中0p1,则称随机变量X服从 . 两点分布 3.超几何分布 其中l=min{n,M},n,M,N∈N*. 如果一个随机变量的概率分布表具有上表的形式,则称X服从超几何分布. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)离散型随机变量的概率分布中,各个概率之和可以小于1.( ) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( ) (3)如果随机变量X的概率分布由下表给出, × √ 则它服从两点分布.( ) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.( ) × √ 2.袋中有3个白球,5个黑球,从中任取两个,可以作为随机变量的是________(填序号). ①至少取到1个白球;②至多取到1个白球;③取到白球的个数;④取到的球的个数. 解析 ①,②表述的都是随机事件,④是确定的值2,并不随机;③是随机变量,可能取值为0,1,2. 答案 ③ 3.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于________. 4.若离散型随机变量X的分布列为: 常数c=________. 解析 由离散型随机变量分布列的性质可知: 5.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有X个红球,则随机变量X的概率分布为________. X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 答案 X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 考点一 离散型随机变量概率分布的性质 【例1】 设离散型随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求:(1)2X+1的概率分布; (2)|X-1|的概率分布. 解 由概率分布的性质知: 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X+1 1 3 5 7 9 |X-1| 1 0 1 2 3 从而由上表得两个概率分布为 (1)2X+1的概率分布 2X+1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X-1|的概率分布 |X-1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 规律方法 (1)利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证两个概率值均为非负数. (2)若X是随机变量,则η=|X-1|等仍然是随机变量,求它的概率分布可先求出相应随机变量的值,再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率,进而写出概率分布. 【训练1】 随机变量X的概率分布如下: X -1 0 1 P a b c 其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________. 考点二 离散型随机变量的概率分布 【例2】 (2015·山东卷节选)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ; (2)若甲参加活动,求甲得分X的概率分布. 规律方法 求离散型随机变量X的分布列的步骤:(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识. 【训练2】 (2014·江苏卷节选)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球的颜色相同的概率P; (2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2
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