向量法直线和平面所成的角定义平面的一条斜线和它在.PPT

高考预测 1．(2012·厦门市模拟)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ . (1)证明：平面PBE⊥平面PAB； (2)求二面角A-BE-P的大小． 解析：(法一)(1)连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知， △BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB. 又因为PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD， 所以PA⊥BE，而PA∩AB＝A，因此 BE⊥平面PAB. 又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB. 解析：(法一)(1)取AB中点E，连接DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2. 连接SE，则SE⊥AB，SE＝ .又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，所以∠DSE为直角． 由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD.SD与两条相交直线AB，SE都垂直． ∴SD⊥平面SAB. (法二)以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 设D(1,0,0)，则A(2,2,0)，B(0,2,0)． 又设S(x，y，z)，则x0，y0，z0. 变式探究 2．(2012·大连市模拟)如图，已知正方形OBCD所在平面与等腰直角三角形AOD所在平面互相垂直，OA＝OD＝4，点E为CD的中点．线段AD上存在一点M，使BM与平面AEB所成角的正弦值为 ，则此时 ＝________. 解析：依题意知平面OBCD⊥平面AOD，OB⊥OD， ∴OB⊥平面AOD，得OB⊥OA. 又AO⊥OD，OB⊥OD， 如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz， 考点三 求二面角的大小 1．几何法：将二面角问题转化求为其平面角的大小问题，要掌握以下三种基本方法： (1)直接利用定义，如图①. (2)利用三垂线定理及其逆定理，如图②. (3)作棱的垂面，如图③. 另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角． 2．向量法：(1)从平面的法向量考虑，设 n1，n2分别为平面α，β的法向量，二面角α-l-β的大小为θ，向量 n1，n2的夹角为φ，则有θ＋φ＝π或 θ＝φ，如图所示． (2)如果AB，CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为 ． 【例3】　(2012·青岛市期末)已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA＝AD＝DC＝ BC＝a，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD，F为B1D的中点． (1)求四棱锥B1-AECD的体积； (2)证明：B1E∥平面ACF； (3)求平面ADB1与平面ECB1所成二面角的余弦值． (2)证明：连接ED交AC于O，连接OF，∵四边形AECD为菱形，∴OE＝OD.又F为B1D的中点， ∴FO∥B1E，又B1E?平面ACF，FO?平面ACF， ∴B1E∥平面ACF. 变式探究 3．(2012·惠州市调研)如图，四边形ABCD为矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E为BC上的动点． (1)当E为BC的中点时，求证：PE⊥DE. (2)设PA＝1，在线段BC上存在这样的点E，使得二面角P-ED-A的平面角大小为 ，试确定点E的位置． 证明：(法一)(1)当E为BC的中点时，EC＝CD＝1，从而△DCE为等腰直角三角形， 则∠DEC＝45°，同理可得∠AEB＝45°， ∴∠AED＝90°.于是DE⊥AE， 又PA⊥平面ABCD，且DE?平面ABCD，∴PA⊥DE.又∵AE∩PA＝A， ∴DE⊥平面PAE.又PE?平面PAE， ∴DE⊥PE. (2) 如图，过A作AQ⊥DE于Q，连接AE，PQ，则PQ⊥DE， (法二)向量方法．以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 课时升华 1．空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的，对空间各种角概念必须深刻理解．平行和垂直可以看成是空间角的特殊情况． 2. 几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步． 3．向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算. 感 悟 高 考 品味高考 　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(2012·福建卷)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点． (1)求证