2011年高考数学专题讲义空间位置关系和证明.docVIP

第二十三讲 空间位置关系与证明 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（浙江）若是两条异面直线外的任意一点，则（B ） A．过点有且仅有一条直线与都平行 B．过点有且仅有一条直线与都垂直 C．过点有且仅有一条直线与都相交 D．过点有且仅有一条直线与都异面 2．（湖南）如图，过平行六面体ABCD-A1B1C1D1 点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( D ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 3．（湖北）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题： ①； ②； ③与相交与相交或重合； ④与平行与平行或重合． 其中不正确的命题个数是（　Ｄ　） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4.（湖北）关于直线、与平面、，有下列四个命题：（D ） ①且，则； ②且，则； ③且，则； ④且，则. 其中真命题的序号是： A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③ 5．在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则( ) 四边形一定是平行四边形 四边形有可能是正方形 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形 四边形有可能垂直于平面 以上结论正确的为 ①③④ 。（写出所有正确结论的编号） 6．（上海）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知是两个相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异 面直线的充分条件： ，并且与相交（，并且与相交） ★★高考要考什么 线与线的位置关系:平行、相交、异面； 线与面的位置关系:平行、相交、线在面内； 面与面的位置关系:平行、相交； 二．转化思想： ； ★★★高考将考什么 【范例1】（天津）如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点． （Ⅰ）证明； （Ⅱ）证明平面； （Ⅲ）求二面角的大小． （Ⅰ）证明：在四棱锥中， 因底面，平面，故． ，平面． 而平面，． （Ⅱ）证明：由，，可得． 是的中点，． 由（Ⅰ）知，，且，所以平面． 而平面，． 底面在底面内的射影是，，． 又，综上得平面． （Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则． 因此是二面角的平面角． 由已知，得．设， 可得． 在中，，， 则． 在中，． 解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为． 过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角． 由已知，可得，设， 可得． ，． 于是，． 在中，． 所以二面角的大小是． 所以二面角的大小是． M变式：如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱． M （1）证明//平面； （2）设，证明平面． 证明：（Ⅰ）取CD中点M，连结OM. 在矩形ABCD中，，又，则， 连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形. 又平面CDE， EM平面CDE， ∴ FO∥平面CDE （Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中， 且. 因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M， ∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO. 而，所以EO⊥平面CDF. ABC A B C D 【范例2】（安徽）如图，在六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面 ，平面，． （Ⅰ）求证：与共面，与共面． （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求二面角的大小（用反三角函数值表示）． 证明：以为原点，以所在直线分别为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系如图， 则有． （Ⅰ）证明： ． ABC A B C D 与平行，与平行， 于是与共面，与共面． （Ⅱ）证明：， ， ，． 与是平面内的两条相交直线． 平面． 又平面过． 平面平面． （Ⅲ）解：． 设为平面的法向量， ，． 于是，取，则，． 设为平面的法向量， ，． 于是，取，则，． ． 二面角的大小为． 解法2（综合法）： （Ⅰ）证明：平面，平面． ABCD，，平面平面． A B C D 于是，． 设分别为的中点，连结， 有． ， 于是． 由，得， 故，与共面． 过点作平面于点， 则，连结， 于是，，． ，． ，． 所以点在上，故与共面． （Ⅱ）证明：平面，， 又（正方形的对角线互相垂直）， 与是平面内的两条相交直线， 平面． 又平面过，平面平面． （Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，， 根据三垂线定理，有． 过点在平面内作于，连结， 则平面， 于是， 所以，是二面角的一个平面角． 根据勾股定理，有． ，有，，，． ，， 二面角的大小为． 变式（江苏）如图，已知是棱长为的正方体， 点在上，点在上，且． （1）求