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互等定理变形体系的虚功原理位移计算图乘法
结构力学 单位:沈阳大学 课程主讲人:郭影 第四章 结构位移计算 结构力学 4.4 互等定理 4.1 变形体系的虚功原理 4.2 位移计算 4.3 图乘法 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时,常需利用公式 2. 杆段的EI为常数。 1. 杆段的轴线为直线。 3. 杆段的图 和MP图中至少有一个为直线图形。 课程主讲人:郭影 第四章 结构位移计算 ----图乘法 结构力学 一、图乘法适用条件 (4-4) (a) dA=MPdx 为MP图中有阴影线的微分面积 x y O x x0 y0 dx A A B B C 形心 面积A dA=MPdx MP图 MP 图 =xtana y0 =x0tana a 课程主讲人:郭影 第四章 结构位移计算 ----图乘法 结构力学 二、图乘法计算公式证明 为整个MP图的面积对y轴的静矩 (b) 课程主讲人:郭影 第四章 结构位移计算 ----图乘法 结构力学 (4-11) 即 将式(b)代入(a),有 式中:y0=x0tana,是MP图的形心C处所对应的图中的竖标。 公式使用说明 1)y0只能取自直线图形,而A应取自另一图形。 2)当A与y0在弯矩图的基线同侧时,其互乘值应取正号;在异侧时,应取负号。 课程主讲人:郭影 第四章 结构位移计算 ----图乘法 结构力学 (4-11) l l l l l h h C C C C C C C 2l/3 l/3 (l+a)/3 (l+b)/3 a b l/2 l/2 3l/4 l/4 3l/8 5l/8 2l/5 3l/5 4l/5 l/5 顶点 顶点 顶点 二次抛物线 二次抛物线 A=hl/2 A=hl/2 A=2hl/3 A1 A2 A1 A2 A1 =2hl/3 A2 =hl/3 A1 =3hl/4 A2 =hl/4 课程主讲人:郭影 第四章 结构位移计算 ----图乘法 结构力学 3)下图列出了几种常见简单图形的面积与形心位置。 4)如果MP与 均为直线,则y0可取自其中任一图形。 5)如果 是折线图形,而MP为非直线图形,则应分段图乘,然后叠加。 A1 A2 y01 y02 MP图 图 课程主讲人:郭影 第四章 结构位移计算 ----图乘法 结构力学 6)如果杆件为阶形杆(EI为分段常数),则应按EI分段图乘,然后叠加。 MP图 A1 A2 y01 y02 EI1 EI2 图 课程主讲人:郭影 第四章 结构位移计算 ----图乘法 结构力学 7)如果MP图为复杂的组合图形(由不同类型荷载按区段叠加法绘出),因而其面积和形心位置不便确定,则可用叠加法的逆运算,将MP图分解(还原)为每一种荷载作用下的几个简单图形,分别与图互乘,然后叠加。 其中 A1 A2 y01 y02 MP图 图 a b c d l 课程主讲人:郭影 第四章 结构位移计算 ----图乘法 结构力学 MP图 A1 A2 y01 y02 a b c d l 图 课程主讲人:郭影 第四章 结构位移计算 ----图乘法 结构力学 = + 抛物线非标准图形的分解 MA MB qa2/8 MA MB dx qa2/8 A B MA MB a q A B MA MB qa2/8 a MA MB dx qa2/8 A B a MA MB A B q = + 课程主讲人:郭影 第四章 结构位移计算 ----图乘法 结构力学 【例】试求如图a所示简支梁跨中截面C的挠度DCV和B端的转角qB。已知EI=常数。 课程主讲人:郭影 第四章 结构位移计算 ----图乘法 结构力学 三、图乘法的应用 解: (1)作实际荷载弯矩图,如图a所示。 q A B C l l/2 l/2 A B C ql2/8 A1 A2 A0 MP图 (a) (b) 课程主讲人:郭影 第四章 结构位移计算 ----图乘法 结构力学 三、图乘法的应用 A A B B C C y01 y02 y0 l/4 1 1 1 图 图 (2)加相应单位荷载,作单位弯矩图 ,如图b所示。 (3)用图乘法公式求位移: 将MP图与 图相乘,则得 课程主讲人:郭影 第四章 结构位移计算
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