二次根式比较大小的方法（最全）.doc

数学二次根式比较大小方法 二次根式是初中数学的重点内容之一,而比较二次根式的大小又是中考和数学竞赛的常见题型.解决这类问题,除了必须掌握二次根式的基本性质和运算法则,还要根据问题的具体结构特征,多角度地探索思考,灵活选用不同的思维方法.为帮助同学们掌握好这类问题,本文介绍几种比较二次根式大小常用的方法和比较技巧,供同学们参考。 一：常规比较法： 系数比较法 此方法适用于两个单个二次根式的比较或一个根式与一个有理数的比较。被开方数相同的几个二次根式。把要比较大小的几个二次根式化为除系数外完全相同的根式，系数大的值就大。 比较大小。 被开方数比较法此方法适用于两个单个二次根式的比较系数相同被开方数不同的几个二次根式。一般地，把要比较大小根式的根号外的数值（系数）移入根号内，被开方数大的值就大。 基本思路：当a＞0,b＞0时，若要比较形如a 与b 的两数大小，可先把根号外的正因数a与b的平方后移入根号内，再根据被开放数的大小进行比较。 （1）例如：比较与的大小. 解析 因为;, 而 296＞252，则＞，所以＞. 先将两个二次根式化为一个数的算术平方根，根据被开方数的大小，就可以判断两个根式的大小。 比较3的大小 解：∵ ，而 ∴3． 比差法要比较两个二次根式的大小，可以让这两个根式相减，视其差值的正负就可以判断它们的大小：若，则；若，则；若，则。 基本思路：设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a－b＜0时，a＜b；当a－b=0时，a=b；当a－b＞0时，a＞b”来比较a与b的大小。 （1）例如：比较和的大小 解：∵ ∴ 与的大小 解析 因为＞0 所以＞ （3）例比较√2003-1/√2004-1与√2003+1/√2004+1的大小． 分析观察到两个式子的分母相乘可用平方差公式，结果为一整数，于是作差进行比较． “比差法”是一种常用的比较方法，一般说如果两个二次根式出现某些同类二次根式，就要考虑采用这种方法。比较的大小。 解：由，，得，于是， ∴ ∴比平方法就是先将两个根式各自平方，然后比较平方后的大小，再说明原数的大小，即，若，，且，则；若，，且，则。基本思路：先将两个要比较的数分别平方，再根据“a＞0,b＞0时，可由a2＞b2得到a＞b”来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例(1)试比较√5+√13，√7+√11与√8十√10的大小； (分析观察发现，每组均为两个二次根式之和，可将其平方后再进行比较； (2)进一步观察发现，每组中两个二次根式的被开方数之和相等，两个被开方数越来越接近。结合考虑每组的大小关系，便可提出猜想．解答略猜想：若0ab≤cd，则√a+√d√b+√c比较 解：∵ 而 又 ∴ ∴ 对于根式，若，可用此法。与的大小. 解析 因为 ;， 又 ＞0;＞0,而 ＞， 所以 ＞. 5．比值法(求商法):通过比较两式的商与1的大小来确定原式的大小 如果、都是正实数，若，则；若，则；若，则。基本思路：设a、b为任意两个实数，先求出a与b的商，再根据“当 比值＜1时，a＜b；当时，当 比值=1时，a=b；当比值 ＞1时，a＞b”来比较a与b的大小。 （1）例如： 若＞＞0,试比较与的大小. 解析 因为＞＞0,所以＞0,＞0， 而 ＞1 所以＞ 例比较√a+1/√a+4与√a+2/√a+3的分析观察发现，本题仍可运用“比差法”比较大小，但作商进行比较，计算也很方便．解答略比较 解：∵= ∴ 与的大小。 解：因为 因为，所以 二：非常规法： 7. 倒数法:先求出各自的倒数,通过比较倒数的大小来确定原式的大小 基本思路：设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当1/a ＜1/b 时，a＞b；当1/a =1/b 时，a=b；当 1/a＞1/b 时，a＜b”来比较a与b的大小。 (1)例如：比较与的大小 解析; 而＞即 ＞ 所以＜. （2）例如：比较 解： 8.分母有理化法:各自先分母有理化,再进行比较 （1）例如： 比较与的大小. 解析 各自先分母有理化,; , 而＞，所以＞. （2）例如：比较 解：∵ 而 ∴ 对根式，若，可用此法。先将分式里分中的根号化去后，再把结果进行比较，便可以判断原来的根式的大小。 解： （2）例如：若＞1,试比较与的大小. 解析 = = 因为＜，所以＞ 即 ＞. （3）例如：比较 解：∵ 而 ∴ ∴ 与的大小。 解：因为 而 所以 所以 10. 比传递法这种方法就是利用不等式的传递性：如果。与的大小. 解析 ＜； ＞ 所以＜ （2）例已知0xl，比较√1+x^2+√1+(1一x)^2与2√2一1的大小 分析由条件01，可知√1+x^21，√1+(1一x)^2l，于是√1+x^2+√1+(1