高中数学三角函数和解三角形总复习.docVIP

高三三角函数 一，公式定理 ． ； ， 各函数在各象限符号 正弦定理= 余弦定理 三角形面积公式S△ABC=absinC， 图形变换（在X上面直接加减乘除）（4）函数的图象与图象间的关系： ①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移个单位得的图象； ②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象； ③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象； ④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。 要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位， 复杂三角函数单调性的求解。 解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性 二，三角函数典型例题 例1、 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）, （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（1）y=sin(2x+)+ 法二如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1 化简得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0 tanx∈R，3－8(y－1)(2y－3)0,解之得：≤y≤ ∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z} （2）几种方法？？？？？/?、？？？ 与斜三角知识挂钩 例3、已知函数 （Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.( 由=0即 即对称中心的横坐标为 综上所述， ， 值域为 . 与一元二次函数挂钩，一环扣一环。 例4．设二次函数，已知不论为何实数恒有. 求证：； 求证：； 若函数的最大值为8，求的值. (1) ， ， ， 恒成立. ， ， 即 恒成立. ， 即 . （2）， ， ， . （3）由题意可知： ， ①， ② ， 由 ① ，② 可得 b = ,c = 3 . 在向量的框架下做 例5、平面直角坐标系有点 求向量和的夹角的余弦用表示的函数； 求的最值. 与实际联系，考情景题这种题一般把提议弄清楚，就好做了 例6、化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2米）. 解：如图，，设，则 ，， 根据图像写三角函数 最值问题 ①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之； ②，引入辅助角，化为求解方法同类型①； ③，设，化为二次函数在上的最值求之； ④，设化为二次函数在闭区间上的最值求之； ⑤，设化为用法求值；当时，还可用平均值定理求最值； ⑥根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”． （二）主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法．的最大值和最小值． 解：． 当，，当，． 例2．求函数的最大、最小值． 解：原函数可化为：， 令， 则，∴． ∵，且函数在上为减函数，∴当时，即时，；当时，即时，． 例3．求下列各式的最值： （1）已知，求函数的最大值； （2）已知，求函数的最小值． 解：（1），当且仅当时等号成立． 故． （2）设，则原函数可化为，在上为减函数，∴当时，． 说明：型三角函数求最值，当，时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解． 例4．求函数的最小值． 解：原式可化为，引入辅助角，，得 ，∴，由， 得或． 又∵，∴，且，故．∴，故． 例5．：已知，则的最大值是 ． 解：∵， ∴，故当时，． 解斜三角形典型例题 1．根据解析式研究函数性质 例1（天津）已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值． 【相关高考1】（湖南）已知函数． 求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间． 【相关高考2】（湖南）已知函数，． （I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．（II）求函数的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为． （1）求和的值； （2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数（其中），（I）求函数的值域； （II）（文）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间． （理）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间． 【相关高考2】（全国Ⅱ）在中，已知内