2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练15章3课时训练.doc

1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成(　　) A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确 B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确 C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确 D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确 解析：选B.首先要注意n为奇数，其次还要使n＝2k－1能取到1，故选B. 2．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　) A．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2 B．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2 C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2 D．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2 解析：选B.∵n＝k＋1时， 等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1) ＝k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2.故选B. 3．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析：选C.当n＝1时，左端＝1＋a＋a2. 4．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是(　　) A．6＋6·7k　　　　　　　　B．2＋7k－1 C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k) 解析：选D.(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除． (2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36. 这就是说，k＝n＋1时命题也成立． 5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为(　　) A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝ C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a、b、c 解析：选A.∵等式对一切n∈N*均成立， ∴n＝1,2,3时等式成立，即 整理得， 解得a＝，b＝c＝. 6．在数列{an} 中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　) A. B. C. D. 解析：选C.由a1＝，Sn＝n(2n－1)an， 得S2＝2(2×2－1)a2，即a1＋a2＝6a2， ∴a2＝＝，S3＝3(2×3－1)a3， 即＋＋a3＝15a3. ∴a3＝＝，a4＝.故选C . 7．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________． 解析：当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)； 当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k) ·(k＋1＋k＋1)， 则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)． 答案：2(2k＋1) 8．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________． 解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2， ∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2， ∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 9．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________． 解析：计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16. 可猜想an＝n2. 答案：n2 10．对于n∈N*，用数学归纳法证明： 1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)． 证明：设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1. (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立； (2)设当n＝k时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)， 则当n＝k＋1时， f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1 ＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1) ＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1) ＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)． ∴由(1)(2)可知当n∈N*时等式都成立． 11.已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)． (