华罗庚学校数学教材(六年级下)第02讲_关于取整计算.doc

本系列共 14 讲  第二讲 关于取整计算  . 文档贡献者：WINER  在数学计算中，有时会略去某些量的小数部分，而只需求它的整 数部分．比如，用 5 米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布 2 米 ， 求这块布料可以做几件上衣？ 5 = 2 1 ，我们的答案取 2 1 的整数部分 2 2 2 2。又如，我们收水费时，为方便经常是忽略掉用水量的小数吨数， 而是先按用水量的整数吨数收费把余量推至下一个月一起收．所以数 学上引进了符号〔 〕，使我们的表述简明． [a] 表示不超过 a 的最大整数，称为 a 的整数部分． 例：[0]=0，[0.03]=0，[ 5 ] =2，[10.25]=10，[7]=7，[1 ] =0。 2 3 [a] 显然有以下性质： ①[a] 是整数； ②[x]≤x； ③x＜[x]+1； ④若 b≥1，则［a＋b］＞〔a〕； 若 b≤1，则〔a＋b〕≤[a]+1． 请你自己举些例子验证前三条性质． 性质④举例：a 取 2.7，则〔a〕=2． 若 b=1.1，那么〔a＋b〕=〔2.7+1.1〕=32=〔a〕． 若 b=0.5，那么［a＋b］=［2.7+0.5］＝〔3.2〕=3=〔a〕+1； 若 b=0.1，那么［a＋b］=〔2.8〕=2〔a〕＋1． 〔a〕还有许多性质．例：若 n 是整数，则有： 〔a+n〕=〔a〕+n． 与〔a〕相关的是数 a 的小数部分，我们用符号{a}表示． 例 ｛0｝=0，｛ 0.03｝=0.03，｛ 5 ｝= 1 ，｛ 10.25｝=0.25，｛ 7｝=0， 2 2 ｛ 1 ｝= 1 。 3 3 显然，a=〔a〕+{a}，而且 0≤{a}＜1． 下面我们应用取整符号〔〕解题． 例 1 判断正误：若 2x+3〔x〕=1．则{x}=0． 解：不正确． 假设 {x}＝0， 则 ：［x］=x． 原式为：2〔x〕＋3〔x〕=1，5［x］=1， [x]= 1 ，矛盾。 5 例 2 求 1～1993 中可被 2 或 3 或 5 整除的整数的个数． 分析 我们知道，自然数中不超过 x 的 n 的倍数的个数是 [ x ] 。 n 所以 1～1993 中能被 2、3、5 整除的数分别有 1993] =996（个 ），  1993] =664（ 个 ）， 3 2 1993] =398（个）。但若把这三个数相加，做为答案 5 就多了，因为有些数被重复计算了。例如 6 及其倍数，既是 2 的倍数 ， 又是 3 的倍数，被计算了两次．同理，重复计算两次的数还有 10 及 它的倍数和 15 及它的倍数，一共有 1993] ＋ 6 1993] ＋ 10 1993] =663（ 个 ） 15 要从和中减去。进一步还要考虑 30 及它的倍数，它们既是 2、3 与 5 的公倍数，也是 6、10 与 15 的公倍数．开始计算了三次，后来又减 去了三次，所以要补上． 解：合题意的数有： 1993] ＋ 2 1993 [ ] 3 1993 [ ] 5 1993 [ ] 6 1993 [ ] 10 1993 [ ] 15 1993 [ ] 30 =2058－663＋66 =1461（个） 例 3 求[ 3×1 + [ 3× 2 ] + ... +[ 3 ×10] 的值。 11 11 11 分析 加法运算中常用高斯求和法简算．求[x]的基本方法是根 据定义 x=[x]+{x}．要善于观察特殊值． 解：∵ 3×1 ] + [ 3×10 ] 是整数， 3×1 + 3×10 = 3 也是整数。 11 11 11 11 而 3×1 3×10 [ 3×1 [ 3×10] ｛ 3×1 ｝＋｛ 3×10 ｝， + = ] + + 11 11 11 11 11 11 ∴ ｛ 3×1 ｝＋｛ 3×10 ｝是整数，又因 11 11 0＜｛ 3×1 ｝＜1，0＜｛ 3×10 ｝＜1， 11 11 ∴ 0＜｛ 3×1 ｝＋｛ 3×1