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2007年沈阳市数学竞赛高中二年级参考答案 一．选择题(本题满分30分，每小题5分) 1．设圆的方程为，直线的方程为，圆被直线截得的弦长等于 (A) (B) (C) (D) 与有关 ［答］ ( A ) ２．且，则是 (A) 钝角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 等腰直角三角形 (D) 等边三角形 ［答］ ( C ) 3．的定义域为，的解集为，的解集为，下列结论正确的是 (A) (B) (C) (D) ［答］ ( D ) 4．已知为三条不同的直线，且平面，平面，． (1)　若与是异面直线，则至少与、中的一条相交； (2)　若不垂直于，则与一定不垂直； (3)　若∥，则必有∥； (4)　若，，则必有． 其中正确的命题的个数是 （A） （B） （C） （D）　　 ［答］ ( C ) 5．已知函数，若存在实数，当时恒成立，则实数的最大值为 (A) (B) (C) (D) ［答］ ( C ) 6．命题：关于的不等式对于一切实数均成立，命题：，则是成立的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 ［答］ ( B ) 二．填空题(本题满分30分，每小题5分) ７外接球的球心为，半径为，且．则. ８，若关于的方程有唯一解，则. ９．一城市的汽车牌照是由到的10个数字和除、外的个字母组成的位号码，要求后三位必须是数字，前两位可以数字或字母，字母前面不能有数字，数字不能全为．那么，这个城市最多可以发放的牌照数是.(以数字作答） 10．已知关于的方程（）无实根，则的取值范围是. 11．袋中有个球，其中有彩色球个．甲、乙、丙三人按甲、乙、丙、甲、乙、丙、的顺序依次从袋中取球，每次取后都放回，规定先取出彩色球者为获胜．则甲、乙、丙获胜的概率比为.（以整数比作答） 12．在中，若，，，为的内心，且，则.（提示：在中，角的平分线与交于，则） 三．解答题(本题共4道小题，满分90分) 13. (本小题满分20分) 如图，在中，，是外接圆上的一点，于，求证：． 证明：延长到使．连结 、、，则有 　　　　， ． 在的外接圆上， ， 从而， ， ． ，， ． 14．(本小题满分20分) 函数 在区间上恒有定义，求实数的取值范围． 解：设，则在区间上恒有定义即在上恒成立． 当时，于上恒成立． 当时，的对称轴，在上单调增加，所以， ， 由，，所以． 当时，于上恒成立，则， 由，，得 ，即； 由，得， 解得或，所以，或． 综上，．　　 15．(本小题满分25分) 椭圆：（）的左、右焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上任意一点．已知的最大值为，最小值为． (１) 求椭圆的方程； (２) 若直线：与椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 解：(1) 是椭圆上任一点,且， ． 当时，有最小值；当或时, 有最大值． ， ， ． 椭圆方程为． (2)　设，，将代入椭圆方程得 ． ． ，，， 为直径的圆过点，， 或都满足， 若直线恒过定点不合题意舍去， 若直线：恒过定点． 16．(本小题满分25分) 已知数列中，.关于的方程有唯一解． (１) 求数列的通项公式； (２) 设,求数列的前项和； (３) 设，求证:． 解：(１)　设，显然是偶函数． 关于的方程有唯一解， 是方程的唯一解， ，即． ，，． (2) 　　　 　　　． (3) 　　　＜＜＜． 高二试题答案第 1 页 共 4 页