函数凸性在经济中的应用毕业论文.doc

编号：南阳师范学院20届毕业生 毕业论文（设计） 题 目： 完 成 人： 班 级： 学 制： 专 业： 指导教师： 完成日期： 目 录 摘要（1） 0引言（1） 1凸函数的定义及判定定理（1） 2函数凸性在经济学中的应用 （2） 2.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用（2） 2.1.1无差异曲线的凸性分析（2） 2.1.2生产函数曲线的凸性分析（5） 2.2凸函数在经济优化中的作用 （6） 2.2.1利润最大问题 （7） 2.2.2最省原材料问题 （8） 2.2.3最佳库存问题（8） 2.3凸函数在风险态度中的应用（9） 3小结 （11） 参考文献 （12） Abstract （12） 函数凸性在经济学中的应用 作 者：刘 畅 指导老师：华柳青 摘要：本文主要探讨了函数凸性怎样在有关经济学问题中发挥作用，并从数学的角度详细说明了经济学教材中一些结论的来源，帮助学生准确的掌握这些结论，培养学生利用数学知识解决经济问题的思维习惯. 关键字：凸函数；边际分析；效用函数 0引言 凸函数是一个十分重要的函数，它的定义最早是由Jensen给出. 凸函数具有较好的几何和代数性质, 设在上有定义，如果对任意，及,都有 （1） 则称为凸函数. 等价定义 记 ，则.由的凸性可知 从而有 ， 即 ， 整理后可得 （2） 定理1 设函数在开区间可导，函数在区间是凸函数当且仅当，且， . 定理2 设在开区间上可导，则下述论断相互等价： 1）为上凸函数； 2）为上的增函数； 3）对上的任意两点，有 （3） 定理3 如果函数在上有存在二阶导函数, 1）若对，有，则函数在上是一个凸函数. 2）若对，有，则函数在上是一个凹函数. 定理4 （极值的第二充分条件）设在点的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，. 1）若，则在取得极大值. 2）若，则在取得极小值. 2 函数凸性在经济学中的应用 2.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用 2.1.1 无差异曲线的凸性分析 无差异曲线用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合.如下图所示，横轴和纵轴分别表示商品1的数量和商品2的数量，曲线、分别表示两条不同商品组合的无差异曲线. 曲线是连续的，并在轴上的具有二阶导数，二阶导数又是大于零的，所以无差异曲线是凸函数. 从上图可以明显地看出，无差异曲线的斜率为负值,而且无差异曲线斜率的绝对值是递减的.商品的边际替代率递减规律决定了无差异曲线具有这样的特征.下面介绍一下边际替代率递减规律. 商品1对商品2的边际替代率的定义公式为 , 式中和分别表示为商品1和商品2的变化量. 当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为 从上式可以看出，无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点上的斜率的绝对值. 利用上图来具体说明商品的边际替代率递减规律和无差异曲线形状之间的关系.在图中，当消费者沿着既定的无差异曲线由点运动到点时，商品1的增加量为10，相应的商品2的减少量为20.这两个变量的比值的绝对值为.在图中，由于无差异曲线是凸函数，并且斜率是负的，这就保证了当商品1的数量一单位一单位地逐步增加时，即由点经、、运动到的过程中，每增加一单位的商品1所需放弃的商品2的数量是递减的，也就是说两个变量的比值的绝对值是逐渐减小的. 这就是在两商品的代替过程中普遍存在的边际曲线代替率递减规律.随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，从而他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少. 经济活动中，我们可以根据市场调查利用无差异曲线和预算线等的关系来