权方和不等式专题研究(最终完美版).pdf

huajie313 初等数学研究系列 内容简介：本文详细介绍了权方和不等式的产生背景并通过大量实例系统展示了权方和不 等式在是中学数学（包括奥林匹克数学）中的广泛应用；深刻揭示了其使用上的诸多技巧。 权方和不等式专题研究 安徽宿州学院数学系 化劼 234000 “权方和不等式”是 80 年代初由湖北杨克昌教授命名的，其实质是 Holder 不等式的特例。在初等数学中的地位虽然不算突出，但对于中学数学 （包括奥林 匹克数学）中的很多与不等式有关的问题而言，权方和不等式却“堪称利器”。 故在此对其做专题研究。 一．权方和不等式的产生背景及其在中学数学（竞赛数学）中的应用 n n n λ i 引理 1：若λ 0, a 0且∑λ 1, 则∑λa ≥ a i i i i i ∏ i i 1 i 1 i 1 证明： 因函数f (x ) ln x在(0,=+∞)上是凹函数 n 由Jensen不等式: 对λ 0, a 0且∑λ 1 i i i i 1 ⎛ n ⎞ n ⎛ n λ ⎞ 有 : ln λa ≥ λ lna ln a i (当 a a 等号成立) ⎜∑ i i ⎟ ∑ i i ⎜∏ i ⎟ i j ⎝i 1 ⎠ i 1 ⎝ i 1 ⎠ 又f (x ) ln x在(0,+∞)上单调增 n n λ 故有: ∑λa ≥ a i (等号在a a 时取得) i i ∏ i i j i 1 i 1 1 1 引理 2： （Holder 不等式） 若a b i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅n + 且p i 0, i 0( 1, 2 ), 1 1