2018年常微分方程考研复试真题及答案.doc

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； t+t+( t-1)u=0 =x+y; （3）+=0 3.求曲线族y=Ce+Cx e所满足的微分方程 4．验证函数y= Ce+ Ce是微分方程y-4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程=2x 6.什么叫积分一个微分方程？ 7．什么是求解常微分方程的初等积分法？ 8．分离变量一阶方程的特征是什么？ 9．求下列方程的通解 y＝sinx xyy+1=y tgx=1+y =exp(2x-y) = xydx=(1- y+x-xy)dx （7）( x+1)( y-1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？ 13．求解下列方程＝ 14．求解下列方程 （1）（x+2y）dx—xdy=0 (2) =+ 15. = 16(x+y)dx—2xydy=0 17. = 18―――――19 20―――――――27 28――――37 38――――44 45――――49 50――――56 57――――62 63――――68 69―――71 72――――81 82――――87 88――――92 93――――94 95――――97 98――――100 101――――105 106――――113 114――――122 2（1）未知函数u的导数最高阶为2，u,u,u 均为一次，所以它是二阶线性方程。 为y最高阶导数为1，而y为二次，故它是一阶非线性常微分方程。 果y是未知函数，它是一阶线性方程；如果将x看着未知函数，它是一阶非线性方程。 3. 提示：所满足的方程为y－2 y+y=0 4． 直接代入方程，并计算Jacobi行列式。 5.方程变形为dy=2xdx=d(x),故y= x+C 6. 微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。 7． 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。 8． y＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积。 9 积分得x=-cosx+c 将方程变形为xydy=(y-1)dx或＝，当xy0,y1时积分得 ＋y+ln+=c (3)方程变形为＝dx,当y-1,sinx0时积分得 　　　　　　　　y=Csinx-1 (4)方程变形为　exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得 exp(y)＝ exp(2x)＋C (5)当y1时，求得通积分ln=x+c (6)方程化为　xydx=(1- y)(1+x)dx或dx=dy,积分得 x－arctgx－ln+y=C (7)当x(y--1)0时，方程变形得 dx+=0 两边积分并化简得 　　　　　　y＝1＋exp(-x) 10.二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=rf(x,y),r.0,则称f(x,y)为m次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。 11．如果f(x,y)是0次齐次函数，则y＝f(x,y)称为齐次方程。 如果p(x,y)和q(x,y)同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。 如果q0则＝－ f(x,y)，由p,q为m次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故y＝f(x,y)为齐次方程。 12． 求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得 　　=x＋z 13． 这是齐次方程。令y=zx, =x＋z,将方程化为 z+x=,并即x＝分离变量得积分得ln|n|+ln(z+2)-ln|z|=ln|C|,或＝C用z=y\x代入得原来的变量。　x＋y＝Cy. 注意y=0方程的解。 14． 当x0时，方程化为=1＋2令y=ux,则原方程化为x=1+u,当1+u0时,可分离变量得u+1=cx:;通解为y=cx+x 作变换y=ux,则原方程化为2udu=于是u=ln|x|+C,代回原变量，得通积分： 　　　　　　　　　　　y＝x（ln|x|+C）　 15. 这是齐次方程。令y=zx原方程化为 －du=两边积分得　　－ln|z|=ln|cx| 用z=代入得 y=exp() y=0也是原方程的解。 16.变形为=　+　，令y=ux得==积分得-