大学数学-留数定理及应用.pdf

第五章 留数及其应用 5.1 基本要求与内容提要 5.1.1 基本要求 1. 正确理解孤立奇点的概念与孤立奇点的分类 2. 正确理解函数在孤立奇点的留数概念. 3. 掌握并能应用留数定理 4. 掌握留数的计算法，特别是极点处留数的求法 5. 掌握用留数求围道上积分的方法，会用留数求一些实积分 5.1.2 内容提要 留数定理是复积分和复级数理论相结合的产物. 1. 孤立奇点 （1） 孤立奇点的分类 定义5.1： 处不解析，但在 的某个去心邻域0  z z  内处处解 f (z)在z 0 z 0 0 析，则称 为 的孤立奇点. z 0 f (z ) 我们可根据洛朗级数展开式中主要部分的系数取零值的不同情况，将函数的孤立奇点 进行分类. [1].可去奇点 若对一切 有 则称 是函数 的可去奇点，或者说 n 0 Cn 0 z 0 f (z ) 在 有可去奇点.这是因为令 ，就得到在整个圆盘z z  内解析的 f (z ) z 0 f (z 0 ) C0 0 函数f (z ) . [2].极点 如果只有有限个（至少一个）整数n 0 ，使得C 0 ，那么我们说z n 0 是函数f (z ) 的极点.设对于正整数 m，Cm 0 ；而当n m 时，Cn 0 .那么我们就 z f (z ) 说 是 的m 阶极点.称1 阶极点为简单极点. 0 n 0 C 0 z f (z ) [3].本性奇点 如果有无限个整数 ，使得 ，呢们我们说 是 的 n 0 本性奇点. 下述几个定理将从函数的性态来刻画各类奇点的特征. f (z ) 0  z z  （0  ） z f (z ) 定理 5.1 设函数 在 内解析.那么 是 的 0 0 lim f (z ) C C 可去奇点的充分必要条件是：存在极限 0 ，其中 是一复常数. 0 z z