大学数学-勾股数组通式的推导及其方法在数论中的重要价值6 (1).doc

勾股数组通式的推导及其方法在数论中的重要价值 数论 费马大定理及一些多元等式的整数解问题 我们知道历史上遗留了300多年的难题终于在1994年被英国数学家怀尔斯所破解。在此之后，我们不应该只局限于破解一个费马大定理，而应该联想到其他多元等式的整数解问题，这需要一个方法，一个确切的方法，这就是我要解决问题的重点，我想这在数论上是重要的。 勾股数组的推导： (、、) () () 或 、 式得勾股数组通式为 、 、 式得勾股数组通式为、 、 对于都成立，所以勾股数组的通式为:、 、 我们求出了勾股数组的通解，而对于一般形式的勾股数组是否也能求出其整数解呢？我们先来看是否能求出其勾股数组。 、、、 如果按前面的方式：可是这样并不好算，我们观察到可以分成 、 就得到两个勾股数组，式的通式为：、、 式通式为：、。由、式得：解得：因此得的整数解通式为： 、、、 经检验等式恒成立。 、、、、 将它分成 式通式为： 、、、 式的通式为：、由、式得：解得： 解得的整数通式为： 对于一般形式的勾股数组：的整数通式都可求出。 上述的方法： “差值法”：如对于要使三者同时为整数，为整数，如果的话，、都为整数，定为整数。由与的关系，这样它们就相互联系，就可求其通式。 （2010.6—— 2011.11） 以上推导都是建立在正整数上。还应当考虑到分数。因为最右边是恒等式。而分数通分约去之后就得到其整数解。如果只考虑整数。那么其它的解将会错过。 只考虑整数。我们就得到以下结论。 必有勾是奇数 股是偶数 弦是奇数 而这是错误。虽然证明是在整数情况下证明得到的。（这为什么错的我也无法解释清楚）。但当奇数大于偶数时。我们设（赋值，不予区分。）得到： 。 得其通解为： 最小10 ,上式表示不完全正确。可以看出勾股为奇数是不存在的，但同为偶数却存在。当且仅当为偶数时，成立。