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高等数学综合练习题 （30 题）解答
1、设a 0 ，{x }满足：
n
1 a
x 0 , x (x ), n 0 ,1,2 ,
0 n1 n
2 x
n
证明：{x }收敛，并求lim x 。
n n
n
分析：用数列通项表示的这种类型题目，往往要用单调有界必有极限这个定理来
解决，因此先要用不等式技术证明{x }单调且有界。
n
证明: （1） 证明：易见，x 0 , (n 0 ,1,2 , ), 则
n
x x a a ，
n1 n x
n
2
1 a a x
从而有： x x (x ) x n 0 ，
n1 n n n
2 x 2 x
n n
故{x }单调减少，且有下界。所以{x }收敛。
n n
1 a
（2）设lim x l， 在x (x ) 两边同时取极限得
n n1 n
n 2 x
n
1 a 1 a
l lim xn1 lim (x ) (l ),
n
n 2 n x 2 l
n
解之得l a ，即lim xn a 。
n
1
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