2018版高中数学第二章数列疑难规律方法学案苏教版必修.doc

第二章 数列 1　数列的表示法 对于刚接触数列的同学来说，理解数列的概念与表示法，是理解数列的关键一步，也可以为以后的学习奠定良好的基础，下面对数列的四种表示方法作简单的分析． 一、通项公式法 例1　试写出数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式． 解　数列的各项可记为21＋1,22＋1,23＋1,24＋1,25＋1，…，所以数列的通项公式为an＝2n＋1. 点评　这类问题关键在于观察各项与对应序号之间的关系，建立合理的联想、转换．写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．通项公式法是数列最重要的一种表示方法． 二、列表法 例2　数列{an}如下表所示，试归纳其通项公式． n 1 2 3 4 5 … an … 解　数列{an}中各项的分子依次为1,2,3，…，恰好是序号n；各项的分母为2,3,4，…，可看成n＋1，所以数列的通项公式为an＝. 点评　由于数列可看成特殊的函数，所以数列也可用列表法表示，列表法具有直观、清晰的特点． 三、图象法 数列是一类特殊的函数，数列的序号可看成自变量，数列的项可看成函数值，数列的通项公式也就是相应函数的解析式，所以数列可用图象法表示，如数列{n＋2}的图象如图． 由图可看出，数列可用一群孤立的点表示，从数列的图象中可以直观地看出数列的变化情况．把数列与函数进行比较，数列特殊在定义域是正整数集或其子集． 四、递推公式法 例3　将正整数数列1,2,3,4，…的各项按照上小下大、左小右大的原则排成如下图的三角形数表， 1 2　3 4　5　6 …… (1)分别写出数表中第4行、第5行的各数； (2)将数表中每行的第一个数组成一个数列，观察规律，给出此数列的一个递推关系式． 解　(1)由题意知， 第4行的各数为7,8,9,10； 第5行的各数为11,12,13,14,15； (2)由数表得，每行的第一个数组成的数列为1,2,4,7,11，…， 观察得a2－a1＝2－1＝1， a3－a2＝4－2＝2， a4－a3＝7－4＝3， a5－a4＝11－7＝4，…. 所以an－an－1＝n－1， 故此数列可表示为a1＝1， an－an－1＝n－1. 点评　数列的递推公式是数列的一种表示形式，体现了数列的一种递推关系，一种递推规律． 2　数列中的数学思想 数学思想在数列的学习中起着重要的作用．若能根据问题的题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能迅速找到解题思路，从而简便、准确求解． 一、方程思想 例1　在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求通项an. 分析　欲求通项an，需求出a1及q，为此根据题设构造关于a1与q的方程组即可求解． 解　方法一　∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8，∴a2＝2. 从而解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1. 当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝. 故an＝2n－1或an＝23－n. 方法二　由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2，代入已知得即 即 将a1＝代入①，得2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝， 由②得或 ∴an＝2n－1或an＝23－n. 二、分类讨论思想 例2　已知{an}是各项均为正数的等差数列，且lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，若bn＝，n＝1,2,3，…，证明：{bn}为等比数列． 证明　由于lg a1，lg a2，lg a4成等差数列， 所以2lg a2＝lg a1＋lg a4， 则a＝a1·a4. 设等差数列{an}的公差为d， 则有(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， 整理得d2＝da1，从而d(d－a1)＝0. (1)当d＝0时，数列{an}为常数列，又bn＝，则{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列． (2)当d＝a1≠0时， 则a2n＝a1＋(2n－1)d＝d＋(2n－1)d＝2nd，所以bn＝＝·， 这时{bn}是首项b1＝，公比为的等比数列． 综上，{bn}为等比数列． 三、特殊化思想 例3　在数列{an}中，若＝k(k为常数)，n∈N*，则称{an}为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0.其中正确的判断是________． 分析　本题为新定义题，且结论具有开放性，解决本题可借助新定义构造特殊数列，排除不正确的判断，从而简捷求解． 解析　数列a，a，…，a(a≠0)既是等差数列，又是等比数列，但不满足＝k，即不是等差比数列，故②、③不正确．故选①④正确． 答案　①④ 四、整体思想 例4　在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝________. 分析　根据题设条件