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巧用对称性妙解二重积分 科技信息○高校讲坛○SCIENCETECHNOLOGYINFORMATION2010年第33期 巧用对称性妙解二重积分 余成恩 (四川理工学院理学院四川 自贡 643000) 【摘要】利用二重积分在对称区域的性质可以简化积分计算，一些条件不完全具备、看似很复杂甚至无法直接求解的积分只要巧施此法，也能很快求解，效果奇妙。本文以大量例子阐述了如何“巧”用此法获得“妙”的效果，并进行了归纳和总结。 【关键词】对称性；奇偶性； 二重积分 我们知道,运用一元奇(偶)函数在对称区间上的定积分性质(即奇偶对称性)常常可以简化定积分的运算.多元函数的积分也具有相应的性质,利用这些性质往往也能起到很好的化简作用,一些看似很复杂甚至无法直接求解的积分只要巧施此法，便能很快求解，效果奇妙。在多元函数积分的习题里面,大多数积分都涉及到对称性,因此,若能很好的加以应用,对提高解题效率、增强应试能力等都大有帮助。然而,在一般的高数教材里面对此很少提及,虽然有的教师在教学中想极力作些补充,但面对本来繁重的课堂教学任务往往也只能是蜻蜓点水，达不到预期的效果;学术刊物上也有不少关于这方面的著述,但主要还是注重理论推导，对此法的“巧”与“妙”讲得不够深入细仔。因此，笔者觉得对此有必要作一个详细的介绍,但限于篇幅，本文只谈谈该法在二重积分计算中的巧妙运用。 不难证得,在对称区域上的二重积分（假设存在）具有如下性质：性质1如果闭区域D关于y轴对称（即D之边界方程以-x代x不变），则 ［f（x，y）＋f（－x，y）］dxdy蓦f（x，y）dxdy＝蓦f（－x，y）dxdy＝1蓦 D D 蓦 蓦蓦蓦蓦蓦蓦蓦蓦D1 xdy＝1 所以， D 蓦（x 计算 D +y）dxdy=4 注:此题显然就是巧用对称性,否则,计算非常麻烦.例2 蓦xsin（x＋y）cos（x－y）dσ，其中D：0≤x≤1，y 2 2 2 2 2 2 ≤1. 解：因为积分区域D关于x轴对称,所以原式＝1 D 蓦xsin（x＋y）cos（x－y）＋xsin（x－y）cos（x＋y）dσ（巧用性 2 质1）＝1 D 蓦 xsin2xdσ＝1 2 （1－cos2）乙乙xsin2xdy＝10 11 dx 2 －1 例3计算 D 蓦（x－2x＋3y＋2）dσ，其中D：x＋y≤a（a＞0）. 2 2 2 D D 0f（－x，y）＝－f（x，y）f（－x，y）＝f（x，y） （其中D1为D的右半部分） 解:因 ＝ 2 蓦f（x，y）dxdy D 蓦 xdσ=1 2 蓦 （x＋y）dσ＝1 2 2 D 蓦 rdrdθ＝πa 3 4 （巧用推论2） 如果积分区域D关于x轴对称也有相应的性质。 性质2如果闭区域D关于原点对称,且f（x，y）关于x，y具有奇偶性，则 D 蓦（－2x＋3y）dσ＝0 4 （巧用性质2） 2 22 所以，原式＝πa＋0＋2πa＝πa（a＋8） D 蓦f（x，y）dxdy＝2蓦f（x，y）dxdy 蓦 蓦蓦蓦蓦蓦蓦蓦蓦D3 0f（－x，－y）＝－f（x，y）f（－x，－y）＝f（x，y） （其中D3 例4计算 D 蓦x［1＋yf（x＋y）］dσ，其中f（u）连续，D由曲线y＝x， 2 2 3 3 2 2 y＝1，x＝－1所围成。 解:将D用曲线y＝－x分成两部分D＝D1＋D2（如图所示），则 为D的上半部分） 上述两个性质常称为积分区域对称性。 根据上述性质还可推得如下重要结论: 推论1如果闭区域D关于直线x=a（或y=b）对称，且f（x，y）是关于x－a（或y－b）的奇函数，则 D2 蓦x［1＋yf（x＋y）］dσ＝蓦x［1＋yf（x 2 D1 D2 D 蓦f（x，y）dxdy＝0 蓦 ［f（x，y）＋f（y，x）］dxdy ＋y）］dσ＋ 蓦x［1＋yf（x＋y）］dσ 2 2 2 2 推论2（轮换对称性）如果闭区域D关于y=x对称（即x、y互换，D之边界方程不变），则 ＝ D1 蓦x［1＋yf（x＋y）］dσ＋0 2 2 D1 （巧用 D 蓦 f（x，y）dxdy＝ D 蓦 f（y，x）dxdy＝1 性质1） D 计算积分时,如果能将上述性质巧妙地运用于解题,往往可以起到很好的简化作用。 例1 计算 ＝ D1 蓦xdσ＋蓦xyf（x＋y）dσ D1 －1 （巧用性质1） －x 33 D 蓦 （x+y）dxdy，其中D：x+y≤1. ＝ D1 .蓦xdσ＋0＝蓦xdσ＝乙dx乙xdy＝－25 x 解:D关于x轴、y轴对称，且被积函数关于x或y都是偶函数，故 例5计算 D 蓦 （x+y）dxdy=4 D1 蓦 D 蓦ydxdy，其中D由曲线x＝－姨2y－y D D 和x＝0所围成的 （x+y）dxdy （其中D1为D在第一象 平面闭区域. 解:因为 限部分） 又D