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莫尔定理,材料力学 13简明材料力学习题_答案_第十三章 13.1. 两根圆截面杆材料相同,尺寸如图所示,一根为等截面杆,一根为变截面杆，试比较两杆 的变形能。 /8 /8 (b) (a) 解：方法1: 两杆的变形 ?l(a)? 外力的功 P?3L/8?P?L/4?PL4PL7PL ? ?l?2??? (b)222 EA1E?d2E?d/44E?dE??2d?/4 W(a) 功能原理 12P2L17P2L ?P?l(a)?W(b)?P?l(b)? 2E?d228E?d2 U(a)?W(a) 方法2: 两杆的内力 2P2L7P2L? U(b)?W(b)? E?d28E?d2 N(a)?P N(b)?P 变形能 U(a)U(b) N2LP2L2P2L ??? 2EA2E?d2/4E?d2 P2?3L/8?P2?L/4?7P2L?2???22 2E?d/48E?d22E??2d?/4 13.2. 图示杵架各杆的材料相同截面面积相等，在P力作用下，试求桁架的变形能。 解：(1) 求约束力 ?X?0 P?X?M (2) 分析铰B A A ?0 XA?P P 2 ?0 RB?2l?P?l?0 RB? B ?Y?0 R NBC N BD ?YA?0 YA? P2 R 45o B BD NBD?RB? (3) 分析铰D P NBC?B? 2NDA NDB NDA?NDB?NBD? (4) 分析铰C P P NDC?0 2 NCB CB NCA?NCB?NBC? (5) 桁架的变形能 Ni2li12222 U???NBClBC?NAClAC?NBDlBD?NDAlDA?? 2EA2EA 2 222????1Pl1?Pl?P??2????0.957???2????l??? 2EA??2?2?2?EA?2EA??? ? 13.3. 计算图示各杆的变形能。 (b) 解：(b) 1 方法1： (1) 查表得C截面的转角 M?24l2l2?Ml ?C?l?3??3????? 6EIl?99?9EI (2) 由功能原理 1M2l U?W?M?C? 218EI 方法2 (1) 列出梁的弯矩方程 /l M? M(x)??x11??l ? M?M(x)??x2?M2 ?l? (2) 求弯曲变形能 U?? l/3 2 lM(x)M2(x1)M2l8M2lM2l2 dx1??dx2??? l/32EI2EI162EI162EI18EI (c) (1) 列出梁的弯矩方程 M(N(? M(θ)??PRsinθ (2) 求弯曲变形能 2 ?/2(?PRsin?)M2(?) U??ds???Rd? l2EI02EI 23 ?PR? 8EI 13.4. 传动轴受力情况如图所示，轴直径为40 mm，E=210 GPa，G=80 GPa。试计算轴的变 形能。 2 解：(1) 传动轴受力 ZA?ZB?0.5 kN YA?YB?0.18 kN (2) 弯矩方程和扭矩方程 My?x??ZAx?500x Mz?x??YAx?180x T?x??80 (3) 变形能 U?2? 0.2 ?500x? 2EIy 0.2 2 ?2? 2 0.2 ?180x? 2EIz 2 ?? 2 0.2 ?80? 2 2 2GIP 1?EI ?? ?500x?dx?? 1 0.2 ?180x?dx ? ?80?? ?0.2 2GIP ?0.230.23?22 ??180??500?? 94 210?10???0.04/64?33?2?80?109???0.044/32?0.0604 J (4) 使用功能原理求解本题 ? ?80? 2 ?0.2 U?W? 111Pyfy?Pzfz?T?222 Pyl3Pzl3111T?l/2l3T2l22 ??Py???Pz??T??Py?Pz???248EIz248EIy2GIP96EI4GIP 0.43802?0.422??360?1000??4?80?109???0.044/3296?210?109???0.044/64?0.0604 J 13.6. 试用互等定理求跨度中点C的挠度，设EI=常量。D (a) (b ) 3 解：(a) (1) 将P力移到C截面处，如下图 (2) 由位移互等定理 D Pl2Pal2 fC??21??12??B?a??a? 16EI16EI 方向向上 (b) (1) 将P力移到C截