§.高考数学有效复习的三步曲.docVIP

§3.3 高考数学有效复习的“三步曲” 关于高考复习，我们常常关心三个问题：一是考查的内容及其重点；二是命题的趋势及其信息；三是复习的策略及其经验.这里，我们想把三个问题整合起来，立足于重点，着眼于趋势，聚集于策略.也就是试图探寻：面对重点和趋势，我们如何实现有效复习？ 答案是什么呢？当然没有标准答案.但我们还是想先给出一个答案，再来解释. 我们的答案概括起来就是三个“三步曲”：能力发展三步曲，思路分析三步曲，心理适应三步曲. 能力发展三步曲，是指能力实现要经历三个层次：基本点——交汇点——制高点； 思路分析三步曲，是指例题教学中，审视题意、寻找思路的三级递进结构：依循套路——转换视角——先行猜测； 心理适应三步曲，是指心理训练的三种状态：自在——适应——自信. 下面作出解释. 1.能力发展三步曲：基本点—交汇点—制高点 为了说明这些概念，我们先看一个例子. 【例1】(2008全国卷Ⅱ22)设函数. (1)求的单调区间； (2)如果对任何，都有，求的取值范围. 在第(1)问中，“单调区间”是基本点，属于基本知识.但要用导数确定函数的单调区间，因而构成交汇点. 第(2)问，自然的想法是分离参数，作变换然，然后求右边的最大值.这是一个自然的思路，是基本点，属于数学活动的经验.这个思路实施起来要运用不等式、导数等工具，是在交汇点上运作.但我们发现，沿着这个思路是不能继续下去的.怎么办？这就需要把猜出来，然后进行证明. 我们先来猜测.注意到很大时的绝对值会很小，要多小有多小；当时，.由此猜测. 我们本来应该证明单调下降且在处取得最大值，但我们没有办法证明.只好通过猜测来证另一个命题了.这个新命题就是： 当且仅当时，. 这就是制高点，它需要猜测，然后改变命题.为什么说是制高点？因为要改变命题，它在数学思维能力序列中属最高层次：体系建构. 从这里我们不难看到基本点、交汇点和制高点的关系.解决问题的基本平台是交汇点，因为试题是在知识网络的交汇点处设计的.支撑这个平台的是基本点，因为交汇点是基本点联系和综合的产物.在这个平台上，我们有一些基本方法和基本经验.比如如上所说，参数问题把参数分离出来；又比如数列问题，设法转化在基本数列模型；解析几何问题，根据条件特征选择适当的算法：坐标、向量和运用几何性质推演；概率计算，把一事件转化为互斥事件的和或独立事件的积，合理选用基本模型和分布；立体几何的证明与计算，也都有一套程序.当我们在基本平台上无能为力时，才需要上升到制高点.因此，我们需要落实基本点，强化交汇点，攻克制高点. 怎样才叫落实基本点？落实基本点就是要关注细节(概念的理解是由细节决定的)，熟练运算(算理、算法、算的方向感和灵巧性靠日积月累)，严谨推理(掌握规则、养成习惯)，守住基本，着意深化.前三项不须解释，举例看看后面两项. 【例2】设记号“”表示两个实数与的算术平均数的运算，即，已知数列满足，则( ). 由于给出了数列的递推关系，学生往往会根据递推关系求出通项，然后求它的极限.这当然是对的，但占用了作答的时间.试想一下，我们是如何描述数列极限的呢？把数列的前几项在数轴上表示出来，观察它的变化趋势.这是我们理解极限的方法，也应该是我们处理极限问题的一种方法.于是我们这样来做：在以为端点的线段上，作它的中点，再作与的中点，两次就可发现，当时，，从而的极限在内，故只能选. 这是什么？这就是基本点，是我们极限教学的原点.有时候我们把简单的问题搞得很复杂，是因为离开原点太远.因此应该提倡回到原点.最简单、最基本、最自然也是最朴素的，才是最重要的. 【例3】(2008湖北理10) 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球， 在月球附近一点进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ 绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨 道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长 轴的长，给出下列式子： ①；②；③；④. 其中正确式子的序号是 ①③ ②③ ①④ ②④ 这道题竟成为一道难题，很能说明问题.②式成立是显然的，因为是椭圆Ⅰ的长半轴与半焦距之差，也是椭圆Ⅱ的长半轴与半焦距之差. 问题是，不能判断③成立有点出乎意外.而且在发表的一些文章中，一般都是计算，或者表示对测量的肯定.但偏偏没有发现利用离心率的几何意义.观察一下，由轨道Ⅰ到轨道Ⅲ，越来越圆，椭圆越圆，离心率就越小，从而椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ的离心率小，故③式成立. 离心率是决定曲线形状的指标，为什么形状的扁圆程度一目了然，而不能确定离心率的大小呢？是因为高考题很