专题11.6 热点题型五 频率分布直方图与样本数据特征及概率-《奇招制胜》2017年高考数学（文）热点+题型全突破 Word版含解析.doc

PAGE  统计图与样本数字特征及概率是高考的必考点，题目难度中等。只要考生对常见的统计图如；频率分布直方图，茎叶图等能准确读取需要信息，能够计算数字特征（平均数，方差等）及事件的概率，进而做出相应推断。常见问题归纳如下； 类型一 频率分布直方图读取与样本数据特征 类型二 频率分布直方图与概率 【基础知识整合】 1.频率分布直方图 作图的步骤；(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． (2)决定 组距与组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表．(5)画频率分布直方图． 2.频率分布折线图和总体密度曲线 （1）频率分布折线图；连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． （2）总体密度曲线；随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． 3.样本的数字特征及意义 (1)众数、中位数、平均数 数字特征定义与求法众数一组数据中重复出现次数最多的数中位数把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)平均数如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数eq \x\to(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)(2)标准差、方差 ①标准差： 表示样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示， s＝eq \r(\f(1,n)[(x1－\x\to(x))2＋(x2－\x\to(x))2＋…＋(xn－\x\to(x))2]). ②方差：标准差的平方s2叫做方差;s2＝eq \f(1,n)(x1－eq \x\to(x))2＋(x2－eq \x\to(x))2＋…＋(xn－eq \x\to(x))2]， 其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，eq \x\to(x)是样本平均数． 名师点睛：(1)频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系： ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． (2)平均数??方差公式的推广;若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \o(x,\s\up6(－))，方差为s2，则数据 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为aeq \o(x,\s\up6(－))＋b，方差为a2s2. (3)方差s2＝eq \f(1,n)(x1－eq \x\to(x))2＋(x2－eq \x\to(x))2＋…＋(xn－eq \x\to(x))2]＝eq \f(1,n)(xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＋…＋xeq \o\al(2,n))－neq \x\to(x)2]． 类型一 频率分布直方图的读取与样本数据特征 【典例1】【2014课标全国Ⅰ(文)18】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标 值分组75,85)85,95)95,105)105,115)115,125)频数62638228(1)在 答题卡上作出这些数据的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至 少要占全部产品80%”的规定？ 【答案】（1）见试题解析 （2）100 , 104. （3）不能 考点；频率分布直方图，样本的数字特征 【思路点拨】在第(1)问中，按照画频率分布直方图的步骤，先求出各组的频率，再结合组距求出各个小矩形的高即可作出各个小矩形，从而作出频率分布直方图；在第(2)问中，可结合提示与(1)中的频率分布直方图，根据平均数与方差的计算公式代入相关数据进行求解；第(3)问主要考查用样本估计总体，可通过样本数据中“质量指标值不低于95”的频率是否大于0.8来作出判断． 【变式练习】 1.【2016高考山东（文）】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20)， 20，22.5)， 22.5,25)，25，27.5)，27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） （A）56 （B）60