x届高考数学（理）二轮复习学案 直线与圆、圆与圆的位置关系（人教a版）.doc

§9.4　直线与圆、圆与圆的位置关系 高考会这样考　1.考查直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.计算弦长、面积，考查与圆有关的最值；根据条件求圆的方程． 复习备考要这样做　1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想． 1．直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. eq \o(\s\up7(　　　方法),\s\do5(位置关系　　　))几何法代数法相交drΔ0相切d＝rΔ＝0相离drΔ02.圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \o\al(2,1)(r10)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \o\al(2,2) (r20). 方法 位置关系几何法：圆心距d与 r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离dr1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解[难点正本　疑点清源] 1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的． 2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法 运用根与系数的关系及弦长公式 |AB|＝eq \r(1＋k2)|xA－xB| ＝eq \r(?1＋k2?[?xA＋xB?2－4xAxB]). 1．(x·重庆)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________． 答案　2x－y＝0 解析　圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－2)2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心(1,2)，故所求直线方程为2x－y＝0. 2．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________． 答案　(－eq \r(3)，eq \r(3)) 解析　由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是eq \f(2,\r(k2＋1))1，解得－eq \r(3)keq \r(3)，即k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))． 3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线xx－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________． 答案　(－13,13) 解析　由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d1. ∵d＝eq \f(|c|,\r(122＋52))＝eq \f(|c|,13)，∴0≤|c|13，即c∈(－13,13)． 4．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 (　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,5) C.eq \f(\r(3),2) D．0 答案　B 解析　圆的方程整理为(x－1)2＋(y－1)2＝1，C(1,1)， ∴sin∠APC＝eq \f(1,\r(5))， 则cos∠APB＝cos 2∠APC ＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(5))))2＝eq \f(3,5). 5．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　B 解析　⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4， 圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2. ⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C2(2,1)，半径r2＝2. ∴|C1C2|＝eq \r(13)，∴|r1－r2|＝0|C1C2|r1＋r2＝4， ∴两圆相交，有两条公切线． 题型一　直线与圆的位置关系 例1　已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝x. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点