如何快速判断可逆矩阵(篇).doc

如何快速判断可逆矩阵(2篇) 以下是网友分享的关于如何快速判断可逆矩阵的资料2篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。 篇一：如何快速判断可逆矩阵 2.4 可逆矩阵 授课题目 2.4 可逆矩阵 授课时数：4课时 教学目标：掌握可逆矩阵及逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，求逆矩阵的公式 可逆矩阵的判定，用初等变换求逆矩阵，用初等变换求解矩阵方程 教学重点：可逆矩阵的判定，用初等变换求逆矩阵，求逆矩阵的公式，用初等变换求解矩阵方程 教学难点：用初等变换求逆矩阵，用初等变换求解矩阵方程 教学过程： 一、可逆矩阵的定义及性质 1、可逆矩阵的定义 解Ann??B时需要满足CA=-I的C的存在性问题。 定义1，对于n阶矩阵A，若存在n阶矩阵A，若存在n阶矩阵B使得 AB=BA=I 则称A为可逆矩阵（或非奇异矩阵），或A可逆称B为A的逆矩阵 从下面几点加深理解：1要求A是方阵，非方阵不加以讨论（广义逆）；2条件是两等式成立（双边乘A等于单位阵）；3能否用BA=I（单边）定义，4若A可逆，A的逆矩阵是否唯一？5条件“AB=BA=I”中，A，B的相互性 2、可逆矩阵的逆矩阵的唯一性 证 事实上设B1，B2都是A的逆矩阵，便有 o 00 B1?B1I?B（）=（B1A）B2?IB2?B2 1AB2 A可逆，用A表示A的唯一的逆矩阵，AA=AA=I 3、可逆矩阵的性质 设A，B可逆 ?1 1)A可逆且(A)=A； ?1?1 ?1?1?1 证 由于AA?AA2)(AB) ?1 ?1?1 ?1 （A?1）?A ?I,知A与A?1互为逆矩阵，且 ?B?1A?1（穿脱原理） ?1 ?1 证 因为A，B均可逆，知A，B存在，且有 1 （B?1A?1）（AB）?B?（A?1A）B?B?1IB?B?1B?I （AB）（B?1A?1）?A（BB?1）A?1?AIA?1?AA?1?I 所以AB可逆，且(AB) ?1 ?B?1A?1 （A1A2?An)推广 3)(A) T ?1 ?1 ?1?1?1?1 ?AnAn?1?A2A1 ?(A?1)T 两运算可交换顺序 ?1 ?1 证 因为A可逆，有AA?AA?I,两边取转置得 (A?1A)T?(A?1)TAT?AT(A?1)T?I （A） 所以A可逆，且（A）? 4、可逆性的初步判定 1）初等矩阵的可逆性 初等矩阵是可逆的，它们的逆是同类的初等矩阵。 TT?1?1T 1 Pij?1?Pij,Di(k)?1?Di(),Tij(k)?1?Tij(?k) k 2）不可逆矩阵的实例 ?0nn?? ??11?????不可逆???1?1? （推广：有一行（列）为零时） ?? ??11??10????,??0010?????? 二、可逆矩阵的判定： 1、基本定理 定理2.4.1 初等变换不改变矩阵的可逆性 证 设A经过一次初等行变换得到B，那么存在一个初等矩阵E，使得EA=B。由 于初等矩阵可逆，当A可逆时，EA也可逆，即B可逆。另一方面，A?E?1B，当B可逆时，E?1B可逆，即A可逆。对列变换的情形可类似的证明。 2、几个充要条件 Th.2.4.2 A可逆?A?In Th.2.4.3 A可逆?A?P1,?Ps,Pi是初等阵 证 设A 可逆，则A的等价标准形为In，即存在初等矩阵 P1,P2,?,Ps,Q1,Q2,?,Qt,使得Ps?P2P1AQ1Q2?Qt?In，于是 1?1?1 A?P1?1P2?1?Ps?1InQ?t?Q2Q1 1?1?1?P1?1P2?1?Ps?1Q??Qt2Q1 故A可表示成一些初等矩阵的乘积。 Th.2.4.4 A可逆?A只经过行初等变换化为In 证 因为A可逆?存在初等矩阵 P1,P2,?,Ps使得A=P1P2?Ps??Ps?1?P2?1P1?1A?I,?A经过s次初等变换化成I。 Th2.4.5 设A，B是两个n阶矩阵，则|AB|=|A||B| ?，As都是n阶矩阵，则 推论1 设A1，A2， |A1A2?As|?|A1||A2|?|As| Th2.4.6 A可逆?A?0 证 必要性 设A可逆，则存在A使得AA ?1 ?1 ?I，由定理5得 |AA?1|?|A?1A|?|I|?1，所以|A|?0 充分性 由定理2，存在 P1,P2,?,Ps,Q1,Q2,?,Qt,使得Ps?P2P1AQ1Q2?Qt?E(r)nn 两边取行列式，由推论1得|Ps|?|P2||P1||A||Q1||Q2|?|Qt|?|Enn|当 |A|?0时， (r) 因此A与In等价。故A可逆。|E(r) nn|?0,从而Enn?In. (r) 10先给出方阵行列式的定义； 20介绍AB?AB（同行列式乘法定理） 30给出A可逆?AB?I（单边的定义） 三、逆矩阵的求法 1、初等变换法 1) 原理