等腰三角形存在性问题--专讲.ppt

小结——数形结合、分类讨论 几何法三部曲： 先分类； 再画图； 后计算． 几何法解答不了的反例！ 点P是x轴的正半轴上的一个动点 PQ⊥AB，与y轴的正半轴交于Q 若△APQ是等腰三角形， 求点P的坐标 ． 无法画图 几何法解答不了的反例！ PQ⊥AB，与y轴的正半轴交于Q OP＝2OQ △AOB∽△QOP 热身运动 第一步 罗列三边（的平方） 代数法三部曲： 先罗列三边； 再分类列方程； 后解方程、检验． OP＝2OQ 若△APQ是等腰三角形 第二步 分类列方程 代数法三部曲： 先罗列三边； 再分类列方程； 后解方程、检验． 若△APQ是等腰三角形 ①AP = AQ ②PA = PQ ③QA = QP 第三步 解方程、检验 代数法三部曲： 先罗列三边； 再分类列方程； 后解方程、检验． ①AP = AQ ②PA = PQ ③QA = QP 点P是x轴的正半轴上的一个动点，P(2a,0) 习题演练 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 （1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）设点M的坐标为(1,m)． 在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2． ①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1． 此时点M的坐标为(1, 1)． ②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得． 此时点M的坐标为(1,)或(1,)． ③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6． 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)． 已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图甲摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上． ∠BAC = ∠DEF = 90°，∠ABC = 45°，BC = 9 cm，DE = 6 cm，EF = 8 cm． 如图乙，△DEF从图甲的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3 cm/s的速度沿FD向点D匀速移动．当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题： （1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？（★★★） ? 图甲) 图乙) 解答方法： 本题虽然是直角三角形的运动，但是我们应该注意转换到点的运动上来，特别是点Q和点P的运动。 第一问找到三角形BQE的面积需要的底和高BE、EQ，很显然BE可以用含t的代数式表示，在Rt△CEQ中，通过∠QCE的余切值可求出QE（用含t的代数式表示）； 第二问中，DP、DQ用含t的代数式表示很简单，但是对于PQ来说不是很方便，所以可以在分类讨论中可以通过等腰三角形三线合一这一性质来解，在PD=PQ与QP=QD时可以作底边的高用∠D的余弦值来求。 ? 图甲) 图乙) 解答方法： 通过观察图像特点，我们能发现在BC所在的直线上有三个相等的角，于是我们可以利用这个基本图形找到相似三角形△ABE∽△ECF，于是可以通过对应边成比例找到函数关系式，定义域需要注意主动点和被动点的位置条件； 第二问可以看出△AEF三条边不是很好求，所以可以考虑角度，∠AEF=∠B，我们发现在等腰梯形中，∠B的余弦值可以求出，所以∠AEF的余弦值也可以求出，然后分别分类讨论时我们可以通过等腰三角形三线合一及∠AEF的余弦值可以第一问中两个相似三角形的相似比，从而转换到AB：EC，于是可以求解BE的长． 动点产生的等腰三角形解题策略 亚新校区 许凯杰 2016年11月17日 解题策略 例题赏析 习题演练 目 录 CONTENTS 撒由那拉 几何法三部曲： 先分类； 再画图； 后计算． 代数法三部曲： 先罗列三边； 再分类列方程； 后解方程、检验． 几何法与代数法相结合----又好又快 几何法 代数法 确定目标 准确定位 代数法三部曲： 先罗列三边； 再分类列