自动控制原理第二章控制系统的数学模型_2.ppt

第二章 控制系统的数学描述 数学工具——拉普拉斯变换与反变换 一、 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t0时 f(t)=0 ② t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限 三、工程上典型函数的拉氏变换 时域上函数：f(t) 脉冲 ?(t) 单位阶跃 速度 加速度 指数 正弦 复数（S）域：F（s） 1 例1 求 的原函数 例2 求 的原函数 第二章 控制系统的数学模型 2-1 线性微分方程的建立与求解 2-2 传递函数 2-3 控制系统的结构图及其等效变换 组成、等效变换、简化、Mason公式 2-4 自动控制系统例题 ◆实验法（黑箱法、辨识法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型或用适当的数学模型去逼近。 微分方程的建立步骤 [例2-2] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。 [解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。 列写如图所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)为输入量，电动机转速ωm(t)为输出量，列写微分方程。图中Ra、La分别是电枢电路的电阻和电感，Mm为电磁转矩。 解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下两个部分组成。 电枢回路电压平衡方程 电动机轴上的转距平衡方程 [例2-5]：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。 3、线性微分方程的求解 非线性元件（环节）微分方程的线性化 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。 [例2-4]：倒立摆系统 画出倒立摆系统隔离体受力图 因为在这些方程中包含 和 ，所以它们是非线性方程。 例2.7 设线性微分方程为 式中， 为单位阶跃函数，初始条件为零，试求 。 解： 对微分方程中的各项进行拉式变换得 式中 教材例2.3，P19 非线性环节微分方程的线性化 对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。 设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如下图中的 。A点附近有点为 ，当 很小时，AB段可近似看做线性的。 A B y x 0 非线性环节微分方程的线性化 设f(x)在 点连续可微， 则将函数在该点展开为泰勒级 数，得： 若 很小，则 ，即 式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程， 是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工 作点附近展开。 A B y x 0 非线性环节微分方程的线性化 对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为： ，工作点为 。则可近似为： 式中： ， 。 为与工作点有关的常数。 [注意]：⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、库仑干摩擦、饱和特性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。 非线性环节微分方程的线性化 该系