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利用导数判断函数的单调性 高中数学选修1-1课件资源教程教案.ppt
1.3.1利用导数判断函数的单调性
知识与能力目标:
1.理解导数符号与函数的单调性关系;
2.会利用导数判断函数的单调性;
过程与方法目标:
讲练结合、讨论等方法,同时利用提示等方 法为学生降低难度
情感态度与价值观目标:
通过对导数与函数的单调性的关系学习,进一步加强知识的应用能力。
教学目标
教学重点
导数符号与函数的单调性关系,用导数解决函数的单调性;
教学难点
导数符号与函数的单调性关系。
知识链接
1. 函数的单调性:
对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的增函数.
对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的减函数.
2. 导数的概念及其四则运算
课前预习
竖直上抛一个小沙袋,沙袋的高度h是时间t的函数,设h=h(t),其图象如图所示。
横轴表示时间t,纵轴表示沙袋的高度h,设沙袋的最高点为A,其横坐标为t=t0.
先考察沙袋在区间(a,t0)的运动情况:
根据生活经验,我们知道,在这个区间内,沙袋向上运动,其竖直向上的瞬时速度大于0,
我们可以用s(t)与瞬时速度v(t)的关系来说明这个法则的正确性:
当v(t)=s’(t)0时,s(t)是增函数;
当v(t)=s’(t)0时,s(t)是减函数。
我们还可以用函数曲线的切线斜率来理解这个法则;
当切线斜率为正时,切线的倾斜角小于90°,函数曲线呈上升状态;
当切线斜率为负时,切线的倾斜角小于90°,函数曲线呈下降状态.
如果函数y=f(x)在x的某个开区间内,总有f ’(x)0,则f(x)在这个区间上是增函数;
如果函数y=f(x)在x的某个开区间内,总有f ’(x)0,则f(x)在这个区间上是减函数。
例1.如图,设有圆C和定点O,当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,它的图象大致是下列四种情况中的哪一种?
解:由于是匀速旋转,阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加,中间时段S增速快,
图A表示S的增速是常数,与实际不符,图A应否定;
图B表示最后时段S的增速快,也与实际不符,图B也应否定;
图C表示开始时段与最后时段S的增速快,也与实际不符,图C也应否定;
图D表示开始与结束时段,S的增速慢,中间的时段增速快,符合实际,应选D。
例2.确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
解:f ’(x)=(x2-2x+4)’=2x-2.
令2x-2>0,解得x>1.
∴当x∈(1,+∞)时,f ’(x)>0,
f(x)是增函数.
令2x-2<0,解得x<1.
∴当x∈(-∞,1)时,f ’(x)<0,
f(x)是减函数.
例3.找出函数f(x)=x3-4x2+x-1的单调区间。
解:f ’(x)=3x2-8x+1,
令3x2-8x+10,解此不等式得
或
令3x2-8x+10,解此不等式得
因此,区间 为f(x)的单调减区间。
例4.证明函数f(x)= 在(0,+∞)上是减函数.
∴f(x)= 在(0,+∞)上是减函数.
例5.求函数y=x2(1-x)3的单调区间.
解:y’=[x2(1-x)3]’
=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1)
=x(1-x)2[2(1-x)-3x]
=x(1-x)2·(2-5x)
令x(1-x)2(2-5x)>0,解得0<x< .
∴ y=x2(1-x)3的单调增区间是(0, )
令x(1-x)2(2-5x)<0,
解得x<0或x> 且x≠1.
∵ x=1为拐点,
∴ y=x2(1-x)3的单调减区间是
(-∞,0),( ,+∞)
达标练习
1.函数y=3x-x3的单调增区间是( )
(A) (0,+∞) (B) (-∞,-1)
(C) (-1,1) (D) (1,+∞)
C
2.设f(x)=x+ (x0),则f(x)的单调增区间是( )
(A) (-∞,-2)
(B) (-2,0)
(C) (-∞,- )
(D) (- ,0)
C
3.函数y=
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