声子Ⅰ点阵振动1一维原子链的点阵振动1简谐近似这一章.PPT

第四章（声子Ⅰ）点阵振动§1.一维原子链的点阵振动1.简谐近似 这一章我们要考虑原子在平衡位置附近的振动。这种考虑是建立在简谐近似的基础之上的，所谓简谐近似即认为振动是小振动，振幅很小，这种振动的位移与力之间是满足线性关系的。 F=-cx 从能量的角度来看，认为原子间有了相对位移后，两原子间的相互作用势也有了变化将势能展开成级数： 2.一维单原子点阵的运动方程和色散关系 一维单原子点阵在每个阵点上只有一个原子，第s个原子相对于它平衡时的位移是Us。第ｓ个原子所受到的来自第s+p个原子的作用力与它的对位移 成正比 第s个原子所受到的力等于所有原子作用力的总和：      Mus= 当s取不同值时，上述方程为一方程组代表各个原子的位移和运动。 原子在平衡位置附近的小振动可看作是耦合的简谐振子的运动。这种耦合谐振子可以通过正则变换化成一组独立的无相互耦合的简谐振动的运动。经过这样变换的每一个独立的谐振子代表简正模式，点阵振动的简正模式是指有一定频率、一定波矢的平面波，第s个原子的位移按简正模式解可写成： 这也就是频率为ω,波矢为k的平面波对第s个原子位移的贡献。这个平面波称之为格波，把寻求到的运动方程的解带入运动方程就能找出ω与k的关系即所谓色散关系。 将 带入运动方程得：（其中u =u ） M  约去两边相同的因子得：  代表第s+p个原子的位移的位相差。  由于点阵有平移对称性（+p原子与-p原子的力常数相等）。Cp=C-p 则  =-利用欧拉合成化简可得： 这就是一维单原子晶考虑了所有原子的作用后得到的格波的频率与波矢所满足的关系。   通常只考虑最近邻原子的作用（最近邻近似）：则色散关系变为： 或   此函数关系在第一布里渊区的图如下： 简正模式的色散关系是点阵平移矢量 的周期函数， （n为整数），可以证明将色散关系中的k换成 后，ω是不变的。  sin[ 平移后色散关系不变。色散关系是点阵平移矢量的周期函数，它主要是由于我们研究的对象是分立的周期结构所引起的。当把k换成-k时色散关系也不变。即K与-k对应的频率完全一样（称之为色散关系的反演对称性） ω（k）=ω（-k）. 3.周期性边界条件 我们前面研究的对象是理想晶体,边界上与内部的原子是一样的,既理想晶体不考虑晶体边界,没有边界效应。长为L的一维原子链,要作为理想晶体来对待,就要用到周期性边界条件(即循环边界条件或玻恩一卡曼边界条件). 所谓周期性边界条件是把实际晶体看作是无限的,要求运动方程的解以晶体的长度L=Na为周期,既要求: 这个边界条件的意思是相当于将晶体的首位相接构成一个园环,第0个原子与第N个原子重合。   因此此边界条件又称为循环边界条件，经过这样处理，边界上原子与晶体内部原子的状态一样，即可把实际晶体当作理想晶体看待。但是，在周期性边界条件下，格波的波矢只能取一系列分立值。 k=0， k=  由此可从k求出ω，由于k值是无限的，相应的应有无穷多简正模式，但实际上在这些简正模式中只有一部分是独立的。即k取边界条件允许的值时，有些格波将对应相同的频率和位移，因此它们是同一个简正模式。 4．第一布里渊区简正模式的色散关系有一个重要的性质：一维时 则 当把k换成时对应的频率完全一样，不仅频率相等，而且与这两个波矢相应的原子的位移情况也一样，进一步说这两个简正模式是同一个简正模式，是代表同一个格波。 当 = 因为 则 当波矢k平移倒易点阵矢量后所给出的简正模式是同一个模式，频率及每个原子的位移都是相同的，这两个格波是同一个格波。 如上图.∴k与k‘是同一列格波,是同一个简正模式 在满足周期性边界条件下，凡是波矢相差一个倒易点阵矢量 的简正模式是同一个简正模式，这样我们就可把格波的波矢ｋ限制在第一布里渊区之中，第一布里渊区以外