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一道高考立体几何题推广 　　2004年高考湖北卷数学第11题：已知平面α与平面β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，过P的一条直线与α，β所成角都是30°，则这样的直线有且仅有（）．? 　　（?A?） 1条（?B?） 2条? 　　（?C?） 3条（?D?） 4条? 　　1 试题溯源? 　　此题很容易让人联想到1993年全国高考理科数学第18题：? 　　已知异面直线a与b所成的角是50°，P为空间一定点，则过P点与a,b所成的角都是30°的直线有且只有（）．? 　　（?A?） 1条（?B?） 2条? 　　（?C?） 3条（?D?） 4条? 　　该题推广到一般情况是：空间两条所成的角为θ的异面直线a、b，过空间一点O与这两条异面直线所成的角均为φ的直线有几条？其答案如下：? 　　 　　图1 　　如图1异面直线a与b所成的角为θ，过点O分别作a与b的平行线OA与OB，则过O点与直线OA、OB所成的角分别与异面直线a、b所成的角相等．? 　　易知过点O与直线OA、OB所成的角相等的直线OC 　　 　　图2图3 　　在过∠AOB的平分线OD且与面AOB垂直的平面OCD内（图2），或在过∠AOB的补角平分线OD′且与面AOB垂直的平面OC′D′内（图3）．? 　　在平面OCD内的直线OC与OA、OB所成的角的范围是［θ2,90°］，平面OC′D′内的直线OC′与OA、OB所成的角的范围是?［90°-θ2,90°］?，? 　　因为0°＜θ≤90°，? 　　所以 ① 0°＜θ＜90°（θ2＜90°-θ2)时，? 　　有以下的结论：? 　　当φ＜θ2时，过点O不存在直线与OA、OB所成的角相等，? 　　当φ=θ2时，在平面OCD内过点O存在1条直线与OA、OB所成的角相等，? 　　当θ2＜φ＜90°-θ2时，在平面OCD内过点O存在2条直线与OA、OB所成的角相等（1993年全国高考理科18题的答案是B）? 　　当φ=90°-θ2时，在平面OCD内过点O存在2条直线与OA、OB所成的角相等，在平面OC′D′内过点O存在1条直线与OA、OB所成的角相等，故过空间点O共有3条直线与OA、OB所成的角相等．? 　　当90°-θ2＜φ＜90°时，在平面OCD内过点O存在2条直线与OA、OB所成的角相等，在平面OC′D′内过点O存在2条直线与OA、OB所成的角相等，故过空间点O共有4条直线与OA、OB所成的角相等．? 　　特别的当φ=90°时，过空间点O只能作1条直线与OA、OB所成的角相等．? 　　② θ=90°时（θ2=90°-θ2）,当φ＜45°时，过点O不存在直线与OA、OB所成的角相等．? 　　当φ=45°时，在平面OCD和平面OC′D′内各存在1条直线与OA、OB所成的角相等，故过空间点O共有2条直线与OA、OB所成的角相等．? 　　当45°＜φ＜90°时，在平面OCD和平面OC′D′内各存在2条直线与OA、OB所成的角相等，故过空间点O共有4条直线与OA、OB所成的角相等．? 　　当φ=90°时，过空间点O只能作1条直线与OA、OB所成的角相等．? 　　2 试题推广? 　　对2004年高考湖北卷数学第11题作如下推广：? 　　推广Ⅰ：设平面α、β相交成二面角为θ(0°＜θ＜90°)，P为α、β外一定点，过点P的一条直线与α、β所成二面角都是φ(0°＜φ＜90°)，这样的直线有多少条？? 　　 　　图4 　　因为直线和平面所成的角与直线的方向向量和平面的法向量的夹角（取锐角）互余，而两个平面所成的角可转化为这两个平面法向量的夹角，所以问题转化为过点P的平面α、β的法向量a和b夹角为θ(0°＜θ＜90°)，则过点P与a和b或与a与-b夹角都为90°-φ的c有几个？（图4）? 　　显然由上述分析可知：? 　　当90°-φ＜θ2(φ＞90°-θ2）时，这样的c不存在（过点P直线不存在）．? 　　当90°-φ=θ2(φ=90°-θ2）时，这样的c可作1个（过点P直线有1条）．? 　　当θ2＜90°-φ＜90°-θ2(θ2＜φ＜90°-θ2)时，这样的c可作2个（过点P直线有2条）．? 　　当90°-φ=90°-θ2(φ=θ2)时，这样的c可作3个（过点P直线有3条）．? 　　当90°-φ＞90°-θ2(φ＜θ2)时，这样的c可作4个（过点P直线有4条）．易知2004年高考湖北卷数学第11题过P的直线有4条，答案是（?D?）．? 　　对于该题我们还可讨论平面α、β相交所成二面角为θ (θ=90°)的情况．? 　　当90°-φ＜45°(φ＞45°)时，这样的c不存在（直线不存在）．? 　　当90°-φ=45°(φ=45°）时，这样的c可作2个（直线可作2条）