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淋雨量模型 09数学与应用数学（1） 0907021006 王秀秀 摘要：本文主要研究人在雨中行走的淋雨量问题。在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中奔跑时淋雨多少与奔跑速度、降雨方向等因素的关系。得出结论：若雨迎面落下，则以最大的速度跑完全程淋雨量最少；若雨从背后落下，则以降雨速度的水平分量时奔跑时淋雨量最少。 关键词：淋雨量雨速大小 雨速方向 跑步速度 路程远近 正 文 1 问题的提出 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，建立数学模型讨论人是否跑得越快，淋雨量越少。讨论： （1）若不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量； （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内时速度多大，总淋雨量最小； （3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内时速度v多大，总淋雨量最少; （4）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。 2 合理假设与变量说明 2.1合理假设 2.1.1 将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m , 厚c=0.2m。设跑步距离d=1000m，跑步最大速度=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量 w=2cm/h，记跑步速度为v。 2.1.2雨中跑步为沿直线跑，雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速为常量且方向不变 2.2变量限定： ：时间 ：总降雨量 ：顶部降雨量 ：前表面淋雨量 ：后表面淋雨量 ：淋雨面积 ： 单位升 、：雨速方向与人速方向的最小夹角 3 模型建立 3.1模型建立 设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则 淋雨面积 即 （1） 雨中奔跑所用时间 （2） 总降雨量 （3） （3）式即为理想奔跑速度模型. 3.2 模型求解 将数据代入模型中，解得： （），（）。（） 3.3 模型II建立 若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为. 则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前表面淋雨量. 如图1 建立总淋雨量与速度及参数之间的关系. 则头部的淋雨量 （4） 前表面的淋雨量： （5） 总淋雨量： （6） 将（4）（5）代入（6）得： （7） （7）式即为模型. 3.3 模型的求解 将数据代入模型中，解得： 时，；时， 3.4 模型的建立 若雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为. 如图2，建立总淋雨量与速度及参数之间的关系 雨速水平分量usinα，方向与相同，合速度为： ， 则总淋雨量： （8） （8）式即为模型. 3.5 模型的求解 由（8）式可知：若即，则时最小。 将数据代入模型中，解得： 5 模型分析 （1）模型I分析：由理想奔跑速度模型知，淋雨量与速度成反比.。即跑得越快淋雨量越少。但分析结果可知：人在雨中跑了即3分20秒，身上却淋了2.444升的雨水，不符合实际，因为是理想模型，在实际中需考虑到雨速的大小和方向。 （2）模型II分析：雨速大小和方向不变，雨速与人的夹角，则以最大速度奔跑时淋雨量最少。 （3）模型III分析：若即，则时最小. 总结：根据以上模型得知我们在雨中奔跑时并非跑得越快，淋雨量最少，淋雨量的多少还取决于雨速大小和方向. 6 模型的改进 更改以上假设，若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，则可将雨速方向分解为与人跑速度同向的速度和与人跑速度方向垂直的速度. 同向速度即平面共面，可看成模型II的情况，垂直速度可看成模型I的情况。若人以沿折线奔跑，则可将折线分段考虑，同样可分解成模型I或模型II。若人看成是圆柱体，情况又发生改变，而实际问题中的限制性因素远远超过这些，因此此文的分析方法仍存在一定的局