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泛函分析在微电子领域的应用 集成电路工程 黄庆丰 11SG21908 摘 要：简单阐述了泛函分析与量子力学方法结合形成的密度泛函理论，进一步说明了密度 泛函在微电子领域的一些应用。密度泛函理论 Density functional theory (DFT)是一种研 究多电子体系电子结构的量子力学方法。密度泛函理论在物理和化学上都有广泛的应用。 关键词：泛函；密度泛函；微电子；DFT 泛函的基本思想是把函数（或曲线等）看作空间的元素或点，而函数的集合 构成了空间，泛函分析是研究无限维线性空间的拓扑性质及其泛函与算子的一般 性质的一个现代数学分支，它是无限维分析学的一个重要组成部分。为了研究多 电子体系电子结构，在原有量子力学的基础上，形成了Thomas-Fermi 计算模型， 这便是早期的密度泛函理论（Density functional theory 简称DFT ）。密度泛函理 论在物理和化学上都有广泛的应用，特别是用来研究微电子机械系统中微纳结构 中电子的状态及能量分布，是该领域最常用的方法之一。 DFT是电子结构理论的经典方法，特别是Hartree-Fock方法和后Hartree-Fock [ 1]密度泛函理论的主要目标就是用电 方法，是基于复杂的多电子波函数的理论。 子密度取代波函数做为研究的基本量。因为多电子波函数有3N个变量（N为电子 数，每个电子包含三个空间变量），而电子密度仅是三个变量的函数，无论在概 念上还是实际上都更方便处理。 虽然密度泛函理论的概念起源于 Thomas-Fermi 模型，但直到 Hohenberg- Kohn 定理提出之后才有了坚实的理论依据。Hohenberg-Kohn 第一定理指出体系 的基态能量仅仅是电子密度的泛函。 Hohenberg-Kohn 第二定理证明了以基态密度为变量，将体系能量最小化之 后就得到了基态能量。最初的HK 理论只适用于没有磁场存在的基态，虽然现在 已经被推广了。最初的Hohenberg-Kohn 定理仅仅指出了一一对应关系的存在， 但是没有提供任何这种精确的对应关系。正是在这些精确的对应关系中存在着近 似（这个理论可以被推广到时间相关领域，从而用来计算激发态的性质）。 密度泛函理论最普遍的应用是通过Kohn-Sham 方法实现的。在Kohn-Sham DFT 的框架中，最难处理的多体问题（由于处在一个外部静电势中的电子相互 作用而产生的）被简化成了一个没有相互作用的电子在有效势场中运动的问题。 这个有效势场包括了外部势场以及电子间库仑相互作用的影响，例如，交换和相 关作用。处理交换相关作用是KS-DFT 中的难点。目前并没有精确求解交换相关 能EXC 的方法。最简单的近似求解方法为局域密度近似(LDA) 。LDA 近似使用 均匀电子气来计算体系的交换能（均匀电子气的交换能是可以精确求解的），而 相关能部分则采用对自由电子气进行拟合的方法来处理。 自1970 年以来，密度泛函理论在微电子与固体电子学的计算中得到广泛的 应用。在多数情况下，与其他解决量子力学多体问题的方法相比，采用局域密度 近似的密度泛函理论给出了非常令人满意的结果，同时固态计算相比实验的费用 要少。尽管如此，人们普遍认为量子化学计算不能给出足够精确的结果，直到二 十世纪九十年代，理论中所采用的近似被重新提炼成更好的交换相关作用模型。 密度泛函理论是目前多种领域中电子结构计算的领先方法。尽管密度泛函理论得 到了改进，但是用它来恰当的描述分子间相互作用，特别是范德瓦尔斯力，或者 计算半导体的能隙还是有一定困难的。 在实际应用中，Kohn-Sham理论能够依照需要解决的不同问题而采用不用的 方法。在固态计算中，局域密度近似与平面波基矢依然被经常采用，作为一种电 子气方法用它来处理无限固体问题是比较合适的。尽管如此，在分子计算中，需 要更多的复杂函数，而且针对化学应用开发了许多的交换相关函数。但是，其中 有一些与统一电子气近似不一致，在电子气限制下必须使用局域密度近似。BLYP （由Becke ，Lee ，Yang ，和Parr 的名字得来）是一种应用广泛的函数。而B3LYP[3-5] 的应用则更为广泛，它是一种混合方法。BLYP 的函数将DFT 中的交换函数与