欧几里得空间9.6.ppt

* * 一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 四、实二次型的主轴问题 一、实对称矩阵的一些性质 引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数． 引理2 设A是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间　 上 定义一个线性变换　如下： 则对任意　　　　　有 或 证：取 的一组标准正交基， 则　在基　 下的矩阵为A，即 任取　　　　　 即 于是 又 　　　　是标准正交基， 即有 又注意到在 　中 二、对称变换 1．定义 则称　为对称变换． 设　为欧氏空间V中的线性变换，如果满足 1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在 标准正交基下是相互确定的： 2．基本性质 ① 实对称矩阵可确定一个对称变换． 一组标准正交基． 事实上，设 为V的 定义V的线性变换　： 则　即为V的对称变换． ② 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵． 为V的一组标准正交基， 事实上，设　为n维欧氏空间V上的对称变换， 为　在这组基下的矩阵，即 或 于是 即 所以A为对称矩阵． 由　是对称变换，有 2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间． 1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量 分别是属于 的特征向量． 则 三、实对称矩阵的正交相似对角化 是正交的． 正交基下的矩阵， 证：设实对称矩阵A为　 上对称变换　的在标准 是A的两个不同特征值 ，　　　 由 又 即 正交． (定理7)对 　　　　　　　总有正交矩阵T，使 有 即 ２． 3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤 设 (i) 求出A的所有不同的特征值： 其重数 必满足 ; (ii) 对每个 ，解齐次线性方程组 求出它的一个基础解系： 它是A的属于特征值 的特征子空间 　 的一组基． 正交基 把它们按 正交化过程化成 　的一组标准 (iii) 因为 互不相同， 且 就是V的一组 标准正交基． 所以 则T是正交矩阵，且 将 的分量依次作 矩阵T的第1，2，…，n列， 使 　　　　　　为对角形． 例1．设 求一正交矩阵T使 成对角形． 解：先求A的特征值． A的特征值为 （三重）, 其次求属于 的特征向量，即求解方程组 得其基础解系 把它正交化，得 再单位化，得 这是特征值 　 (三重)的三个单位正交特征向量， 也即是特征子空间　 的一组标准正交基． 再求属于　　　 的特征向量，即解方程组 得其基础解系 再单位化得 这样 　　　　　构成 　 的一组标准正交基，它们 都是A的特征向量，正交矩阵 使得 注： 成立的正交矩阵不是唯一的．　　　 ① 对于实对称矩阵A，使　　　　　 而且对于正交矩阵T, 还可进一步要求 事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T　 取正交矩阵 则 是正交矩阵且 同时有 *