欧几里得空间9.5.ppt

* * 一、正交子空间 二、子空间的正交补 一、欧氏空间中的正交子空间 1．定义： 1) 　与 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对 则称子空间 与 为正交的，记作 　则称向量　与子空间 　正交，记作 恒有 2) 对给定向量 　 如果对 　　恒有 注： ① 　　当且仅当 　中每个向量都与 　正交． ② ③ 当 　　且 　　时，必有 证明：设子空间 　　　两两正交， 2．两两正交的子空间的和必是直和． 要证明 中零向量分解式唯一． 只须证： 设 　　　 　　 由内积的正定性，可知 二、子空间的正交补 1．定义： 如果欧氏空间V的子空间 　 满足　　　　并且 则称 　为 　的正交补. 2． 维欧氏空间V的每个子空间 　都有唯一正交补. ② 维欧氏空间V的子空间W满足: ① 子空间W的正交补记为　　　即 i) ii) iii) 注： ⅳ) W的正交补 必是W的余子空间. 但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补. 称　 为　在子空间W上的内射影. 3．内射影 设W是欧氏空间V的子空间，由 对 有唯一的　　　　　　　　使 *