概率模型-2011重科暑假培训.ppt

建模 选择合适的目标函数 切掉多余部分的浪费 整根报废的浪费 总浪费 = + 粗轧一根钢材平均浪费长度 粗轧N根 成品材 PN根 成品材长度l PN 总长度mN 共浪费长度 mN-lPN 选择合适的目标函数 粗轧一根钢材平均浪费长度 得到一根成品材平均浪费长度 更合适的目标函数 优化模型：求m 使J(m) 最小（已知l ,? ） 建模 粗轧N根得成品材 PN根 求解 求 z 使J(z) 最小（已知? ） 求解 例 设l=2(米), ?=20(厘米)，求 m 使浪费最小。 ?=l/?=10 z*=-1.78 ?*= ?-z*=11.78 m*= ?*?=2.36(米) 求解 1.253 0.876 0.656 0.516 0.420 0.355 0 227.0 -3.0 0.5 56.79 -2.5 1.0 18.10 -2.0 1.5 7.206 -1.5 2.0 2.5 3.477 1.680 -1.0 -0.5 z z F(z) F(z) 1.0 2.0 0 -1.0 -2.0 10 5 F(z) z 5 随机人口模型 背景 一个人的出生和死亡是随机事件 一个国家或地区 平均生育率平均死亡率 确定性模型 一个家族或村落 出生概率死亡概率 随机性模型 对象 X(t) ~ 时刻 t 的人口, 随机变量. Pn(t) ~概率P(X(t)=n), n=0,1,2,… 研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差 若X(t)=n, 对t到t+?t的出生和死亡概率作以下假设 1)出生一人的概率与?t成正比，记bn?t ;出生二人及二人以上的概率为o(?t). 2)死亡一人的概率与?t成正比，记dn?t ;死亡二人及二人以上的概率为o(?t). 3)出生和死亡是相互独立的随机事件。 bn与n成正比，记bn=?n , ?~出生概率； dn与n成正比，记dn=?n，?~死亡概率。 进一步假设 模型假设 建模 为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，考察Pn(t+?t) =P(X(t +?t)=n). 事件X(t +?t)=n的分解 X(t)=n-1, ?t内出生一人 X(t)=n+1, ?t内死亡一人 X(t)=n, ?t内没有出生和死亡 其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，… …) 概率Pn(t+?t) Pn-1(t), bn-1?t Pn+1(t), dn+1?t Pn(t), 1-bn?t -dn ?t o(?t) ~一组递推微分方程——求解的困难和不必要 (t=0时已知人口为n0) 转而考察X(t)的期望和方差 bn=?n，dn=?n 微分方程 建模 X(t)的期望 求解 基本方程 n-1=k n+1=k 求解 比较：确定性指数增长模型 X(t)的方差 E(t)-?(t) ?-? = r ?? D(t)? E(t)+?(t) E t 0 n0 ?, ??? D(t)? X(t)大致在 E(t)?2?(t) 范围内（? (t) ~均方差） r ~ 增长概率 r ~ 平均增长率 * 1 传送系统的效率 2 报童的诀窍 3 随机存贮策略 4 轧钢中的浪费 5 随机人口模型 确定性因素和随机性因素 随机因素可以忽略 随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 概率模型 统计回归模型 马氏链模型 随机模型 确定性模型 随机性模型 传送带 挂钩 产品 工作台 工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。 背景 在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径 1 传送系统的效率 问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。 模型假设 1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数； 2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的； 3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的； 4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。 模型建立 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s,待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n 若求出一周期内每只挂