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第二部分 攻克题型得高分
几何图形动点问题(特殊四边形动点问题)
1. (2016乐山)如图,在直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴正半轴上,点B的坐标是(5,2),点P是CB边上一动点(不与点C、点B重合),连接OP、AP,过点O作射线OE交AP的延长线于点E,交CB边于点M,且∠AOP=∠COM,令CP=x,MP=y.
(1)当x为何值时,OP⊥AP?
(2)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)在点P的运动过程中,是否存在x,使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积?若存在,请求x的值;若不存在,请说明理由.
第1题图
2. 以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点,AC所在的直线为x轴.已知A(-4,0),B(0,-2),M(0,4),P为折线BCD上一动点,作PE⊥y轴于点E,设点P的纵坐标为a.
(1)求BC边所在直线的解析式;
(2)设y=MP2+OP2,求y关于a的函数关系式;
(3)当△OPM为直角三角形时,求点P的坐标.
第2题图
3. 正方形ABCD的边长为6 cm,点E、M分别是线段BD、AD上的动点,连接AE并延长,交边BC于F,过M作MN⊥AF,垂足为H,交边AB于点N.
(1)如图①,若点M与点D重合,求证:AF=MN;
(2)如图②,若点M从点D出发,以1 cm/s的速度沿DA向点A运动,同时点E从点B出发,以 cm/s的速度沿BD向点D运动,运动时间为t s.
①设BF=y cm.求y关于t的函数表达式;
②当BN=2AN时,连接FN,求FN的长.
第3题图
4. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8),点C的坐标为(-2,4),点M,N分别为四边形OABC边上的动点,动点M从点O开始,以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B匀速运动,动点N从点O开始,以每秒2个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动,点M,N同时从O点出发,当其中一点到达终点后,另一点也随之停止运动.设动点运动的时间为t秒(t>0),△OMN的面积为S.
(1)填空:AB的长是______,BC的长是______;
(2)当t=3时,求S的值;
(3)当3<t<6时,设点N的纵坐标为y,求y与t的函数关系式;
(4)若S=,请直接写出此时t的值.
第4题图
答案
1. 解:(1)由题意知,OA=BC=5,AB=OC=2,∠B=∠OCM=90°,BC∥OA,
∵OP⊥AP,
∴∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°,
∴∠OPC=∠PAB,
∴△OPC∽△PAB,
∴=,即=,
解得x1=4,x2=1(不合题意,舍去),
∴当x=4时,OP⊥AP.
(2)∵BC∥OA,∴∠CPO=∠AOP,
∵∠AOP=∠COM,∴∠COM=∠CPO,
∵∠OCM=∠PCO,∴△OCM∽△PCO,
∴=,即=,
∴y=x-,
∵y0,x0,∴x-0,解得x2,
∴x的取值范围是2x5.
(3)假设存在x符合题意.
过E作ED⊥OA于点D,交MP于点F,则DF=AB=2,
∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积,
第1题解图
∴S△EOA=S矩形OABC=2×5=×5ED,
∴ED=4,EF=2,
∵PM∥OA,∴△EMP∽△EOA,
∴=,
即=,解得y=,
∴由(2)知y=x-得,x-=,
解得x1=,x2=(不合题意,舍去),
∴在点P的运动过程中,存在x=,使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积.
2. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形,点A(-4,0),B(0,-2),
∴OC=OA=4,OD=OB=2,
∴C(4,0),D(0,2),
设直线BC解析式是y=kx+b,
把B、C坐标代入得,
解得
∴BC边所在直线解析式为y=x-2.
(2)因为点P为折线BCD上一动点,所以分点P在BC上和点P在CD上两种情况进行讨论:
①点P在线段BC上,
将点P的纵坐标a代入直线BC的解析式中,解得:x=2a+4,
即PE=2a+4,OE=-a,
∴ME=4-a.
∴y=PM2+PO2=PE2+EM2+PE2+EO2=4(a+2)2+(4-a)2+4(a+2)2+a2=10a2+24a+48;
第2题解图①
②点P在线段DC上,
由点A(-4,0)、D(0,2)易求得直线CD的解析式为y=-x+2,
将点P的纵坐标a代入解析式中得:x=4-2a,即PE=4-2a,OE=a,
∴ME=4-a.
∴y= PM2+PO2= PE2+EM2+PE2+EO2=(4-2a)2+(4-a)2+(4-2a)2+a2=10a2-40a+48,
第2题解图②
综上可知,y=10a2+24a+48(
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