初等数论第一章7.pptVIP

初等数论 Number Theory 第一章 整除理论 整除性理论是初等数论的基础。本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。 第七节 函数[x]与{x} 本节中要介绍函数[x]，它在许多数学问题中有广泛的应用。 定义1 设x是实数，以[x]表示不超过x的最大整数，称它为x的整数部分; 又称{x} = x ? [x]为x的小数部分。 有了定义后, 下面给出一个定理, 也可作为整数部分、小数部分的性质. 证明留作习题. 第七节 函数[x]与{x} 定理1 设x与y是实数，则 (ⅰ) x ? y ? [x] ? [y]； (ⅱ) 若m是整数，则[m ? x] = m ? [x]； (ⅲ) 若0 ? x 1，则[x] = 0； (ⅳ) [x ? y] = ； (ⅴ) [?x] = ； (ⅵ) {?x} = . 第七节 函数[x]与{x} 定理2 设a与b是正整数，则在1, 2, ?, a中能被b整除的整数有个 。 证明 能被b整除的正整数是b, 2b, 3b, ?，因此，若数1, 2, ?, a中能被b整除的整数有k个，则 kb ? a (k ? 1)b ? k ? k ? 1 ? k = 。 证毕。 第七节 函数[x]与{x} 由定理2我们看到，若b是正整数，那么对于任意的整数a，有 ， 即在带余数除法 a = bq ? r，0 ? r b 中有 。 第七节 函数[x]与{x} 定理3 设n是正整数， 是n!的标准分解式，则 (1) 证明 对于任意固定的素数p，以p(k)表示在k的标准分解式中的p的指数，则 p(n!) = p(1) ? p(2) ? ? ? p(n). 以nj表示p(1), p(2), ?, p(n)中等于j的个数,那么 p(n!) = 1?n1 ? 2?n2 ? 3?n3 ? ? ， 第七节 函数[x]与{x} 显然，nj 就是在1, 2, ?, n 中满足 pj?a 并且 pj + 1 a的整数a的个数，所以，由定理2有 将上式代入式(2)，得到 即式(1)成立。 证毕。 第七节 函数[x]与{x} 推论 设n是正整数，则 其中 表示对不超过n的所有素数p求积。 定理4 设n是正整数，1 ? k ? n ? 1，则 ?N。 (3) 若n是素数，则n? ，1 ? k ? n ? 1。 第七节 函数[x]与{x} 证明 由定理3，对于任意的素数p，整数n!，k!与(n ? k)!的标准分解式中所含的p的指数分别是 . 利用定理1可知 ， 因此是整数。 第七节 函数[x]与{x} 若n是素数，则对于1 ? k ? n ? 1，有 (n, k!)=1,(n, (n ?k)!) =1 ? (n, k!(n ?k)!) =1， 由此及 ?N， 推出k!(n ? k)!?(n ? 1)!，从而n? 。 证毕。 第七节 函数[x]与{x} 例1 求最大的正整数k，使得10k?199!。 解 由定理3，199!的标准分解式中所含的5的幂指数是 = 47， 所以，所求的最大整数是k = 47。 第七节 函数[x]与{x} 例2 设x与y是实数，则 [2x] ? [2y] ? [x] ? [x ? y] ? [y]。 (4) 解 设x = [x] ? ?，0 ? ? 1，y = [y] ? ?，0 ? ? 1，则 [x] ? [x ? y] ? [y] = 2[x] ? 2[y] ? [? ? ?]， (5