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全等三角形的判定方法： s { s A { { S（用sss ） s （用sAs） A （用sAs ） A （用AAs或ASA） SSS,SAS,ASA,AAS 较难的证明问题： 构造全等三角形 关键性条件： 中线、角平分线、高线 方法：倍长中线法、平行线法、翻折法、轴对称法、…… 如何利用三角形的中线来构造全等三角形？ 可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。 如图，若AD为△ABC的中线， 必有结论： A B C D E 1 2 延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。 △ABD≌△ECD， ∠1=∠E， ∠B=∠2， EC=AB，CE∥AB。 例1：如图， 为 的中线． 求证： ． 利用三角形的三边关系还能得到： 倍长中线法 E 证明：延长AD一倍至E，使 ， 连接BE， 变式：如图， 为 的中线． AB=3,AC=2.则AD的取值范围是？ ． E 变式：已知在 中， 是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC.延长BE交AC于点F，求证：AF=EF M 证明：延长AD至点M，使DM=AD,连接BM. AD是BC边上的中线 BD=CD 在 ????????????????????????????????中 ???????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????? 练习： D 证明：过点E作ED平行CF,则 ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 平行线法 小结：题目中的条件出现中点、中线字样，此时可以考虑运用“倍长中线法”“平行线法”等方法，构造以中点为对称中心的中心对称图形，构造全等三角形。 如何利用三角形的中线来构造全等三角形？ 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？ （3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。 （1）在AB上截取AE=AC，连结DE。 （2）延长AC到F，使AF=AB，连结DF。 A B C D E F M N 必有结论：△ADE≌△ADC。 必有结论：△ABD≌△AFD。 必有结论：△AMD≌△AND。 可以利用角平分线所在直线为对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线。 例2,如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B E 证明: 在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。 ∵ AD是∠BAC的角平分线 ∴∠1=∠2 在△AED和△ACD中 ∵ AE=AC ∠1=∠2 AD=AD ∴△AED≌△ACD（S.A.S） ∴ ∠C＝∠3 ED=CD 又∵ AB=AC+CD=AE+EB ∴EB=DC=ED ∴∠B=∠EDB ∵ ∠3= ∠ B+∠EDB= 2∠B∴∠C=2∠B 截长法 1 2 3 证明: 延长AC到F，使CF=CD，连结DF。 ∵ AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠FAD ∵ AB=AC+CD，CF=CD ∴ AB=AC+CF=AF 在△ABD和△AFD中 ∵ AB=AF ∠BAD=∠FAD AD=AD ∴△ABD≌△AFD（S.A.S） ∴ ∠F＝∠B ∵ CF=CD（已知） ∴∠F=∠CDF ∵ ∠ACB= 2∠F∴∠ACB=2∠B F 补短法 例2,如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B 截长法 补短法 截长补短法 证明： 练习 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180° D A B C E 在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。 ∵ BD是∠ABC的角平分线 ∴∠1=∠2 在△ABD和△EBD中 ∵ AB=EB ∠1=∠2 BD=BD ∴△ABD≌△EBD（S.A.S） 1 2 4 3 ∵ ∠3+ ∠4＝180°，∠A＝∠3 ∴∠A+ ∠C＝180°