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第五章 方 差 分 析 5.1 方差分析中的有关概念 5.2 单因素方差分析 5.3 双因素方差分析 5.4 均值估计与多重比较 5.1 方差分析中的有关概念 5.1.1 单因素方差分析问题与模型 5.1.2 双因素方差分析问题与模型 5.1.3 方差分析中的基本假定 5.1.1 单因素方差分析问题与模型 1. 数学模型 进行单因素方差分析时，需要得到如图5-1所示的数据结构。 设xij表示第i个总体的第j个观测值（j = 1，2，…，ni，i = 1，2，…，m），希望由此对不同水平下总体的均值进行比较。 对此，观察到的xij常用以下的模型表示： xij = ?i + ?ij ，1≤j≤ni，1≤i≤m 其中?i表示第i个总体的均值，?ij为随机误差，在方差分析中为了得到有效的检验法还常假定?ij满足： ● ?ij为相互独立的； ● ?ij都服从正态分布，且?ij的均值都为0，方差都相同。 2. 方差分析的过程 为了方便起见，可将?i记为： ?i = ? + ?i 其中 称为总均值，?i = ?i – ?，i = 1，2，…，m称为因素A的第i个水平的附加效应，这样比较不同水平下均值是否相同。问题的检验假设： H0：?1 = ?2 = … = ?m，H1：?1，?2，…，?m不全相等； 就可以表示为： H0：?1 = ?2 = … = ?m = 0，H1：?1，?2，…，?m不全为零。 在H0成立下检验用统计量： 其中 、 称为组间、组内（变差）平方和；这里 称为组内平均； 称为总平均，n = n1 + n2 + … + nm；另外 称为全部（变差）平方和；可以证明 SST = SSMA + SSE。 当原假设成立时，各总体均值相等，各样本均值间的差异应该较小，模型平方和也应较小，F统计量取很大值应该是稀有的情形。 所以对给定显著性水平α?(0, 1)，若p = P{F ? F0} α，则拒绝原假设H0（F0为F统计量的观测值），可以认为所考虑的因素对响应变量有显著影响；否则不能拒绝H0，认为所考虑的因素对响应变量无显著影响。 3. 方差分析表 通常将上述计算结果表示为表5-1所示的方差分析表。 表5-1 单因素方差分析表 其中，MSA = SSMA/(m – 1)，MSE = SSE/(n – m)。利用方差分析表中的信息，就可以对因素各水平间的差异是否显著做出判断。 5.1.2 双因素方差分析问题与模型 1. 无交互作用的双因素方差分析 对于多因素问题，通常考虑有重复观测的情形，其数据结构如图5-2所示。 图5-2 双因素方差分析中数据结构 若第一个因素A有l个水平，第二个因素B有m个水平。在因素A的第i个水平和因素B的第j个水平下进行了多次观测，记为{xijk，1≤k≤n}。 对xijk考虑以下模型： xijk= ? + ?i + ?j + ?ijk， 1≤i≤l，1≤j≤m，1≤k≤n 其中?表示平均的效应，?i和?j分别表示因素A的第i个水平和因素B的第j个水平的附加效应，?ijk为随机误差，同样这里的随机误差也假定它是独立的并且服从等方差的正态分布。 要说明因素A有无显著影响，就是要检验如下假设： H0A：?1 = ?2 = … = ?l， H1A：?1，?2，…，?l不全相等； 要说明因素B有无显著影响，就是要检验如下假设： H0B：?1 = ?2 = … = ?m， H1B：?1，?2，…，?m不全相等； 而模型无显著效果是指以上两个假设的原假设同时成立。 在H0A、H0B成立时，检验用统计量： 对于给定的显著性水平α 当值p = P{FA FA0} α时拒绝H0A； 当值p = P{FB FB0} α时拒绝H0B。 其中，FA0为FA统计量的观测值，FB0为FB统计量的观测值。 2. 有交互作用的多因素方差分析 对于有交互作用的观测{xijk}，采用以下的模型： xijk= ? + ?i + ?j + ?ij + ?ijk， 1≤i≤l，1≤j≤m，1≤k≤n 其中?表示平均的效应，?i和?j分别表示因素A的第i个水平和因素B的第j个水平的附加效应，?ij表示因素A的第i个水平和因素B