05古代希腊数学(上)-数学史.ppt

古代希腊数学（上） 论证数学的发端 从公元前2000年左右到公元前30年，古代希腊人以巴尔干半岛、爱琴海诸岛和小亚细亚沿岸为中心，在包括北非、西亚和意大利半岛南部及西西里岛的整个地中海地区建立起了一系列奴隶制国家。 希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。他们虽也取用了周围其他文明世界的一些东西，但希腊人创造了他们自己的文明和文化，这是一切文明中最宏伟的，是对现代西方文化的发展影响最大的，是对今日数学的奠基有决定作用的。 ——《古今数学思想》 奴隶制城邦 海滨移民 他们具有典型的开拓精神，对于所接触的事物，不愿因袭传统； 其次，他们身处与两大河谷毗邻之地，易于汲取那里的文化。 通常把希腊开创的初等数学时期分为两个阶段。 一是希腊早期数学，即古典时期的希腊数学。这个阶段大约从公元前六世纪开始到公元前三世纪。 二是希腊后期数学，即亚历山大时期的希腊数学。这一时期大约从公元前三世纪到公元六世纪。 1 爱奥尼亚学派和演绎证明 以演绎证明为基本特征的 数学，最早诞生于古希腊 爱奥尼亚地区的海滨城市米利都。 “希腊科学之父”——泰勒斯 古希腊第一个数学学派——爱奥尼亚学派 米利都同时也是希腊哲学和科学的诞生地 1 爱奥尼亚学派和演绎证明 泰勒斯的五个命题： ⑴圆被任一直径二等分； ⑵等腰三角形的两底角相等； ⑶两条直线相交，对顶角相等； ⑷两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形全等； ⑸内接于半圆的角必为直角。 其中最后一个定理被人们称为“泰勒斯定理”。 1 爱奥尼亚学派和演绎证明 从泰勒斯开始，人们已不再仅仅利用直观和实验来寻求数学结论了。 换句话说，实际上泰勒斯已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础，这使得他获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉。 关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说。 理性思维的观念，正是希腊科学精神的精髓之所在。 2 毕达哥拉斯学派与“万物皆数” 毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家、天文学家和音乐理论家，出生与爱琴海中的萨摩斯岛。 2 毕达哥拉斯学派与“万物皆数” 意大利半岛南部的克罗多内 一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社，这就是著名的毕达哥拉斯学派。 相传希腊文中“哲学”和“数学”这两个词就是由毕达哥拉斯学派创造的。 2 毕达哥拉斯学派与“万物皆数” 基本信条 “万物皆数” 万物的本原就是数 数是由单子或1产生的，因此将1命名为“原因数”，每一个数都被赋予了特定的属性。 2是阴数，3是阳数，4是完全平方，代表公正，5是2+3，表示婚姻。 而一切数中最神圣的是10，他们信奉和崇拜10，认为它是完美、和谐的标志。 这种“万物皆数”的观念从另一侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也是数学化思想的最初表述形式。 2 毕达哥拉斯学派与“万物皆数” 毕达哥拉斯学派还定义了完全数、过剩数和不足数。 6是最小的完全数，下一个完全数是28，等等。 亲和数的概念也被归功于毕达哥拉斯学派。 最小的一对亲和数是220和284。 2 毕达哥拉斯学派与“万物皆数” 毕达哥拉斯学派关于“形数”的研究，强烈地反映了他们将数作为几何思维元素的精神。 三角形数 N=1+2+3+…+n(n+1)/2 正方形数 N=1+3+5+7+…+(2n-1) 五边形数 N=1+4+7+…+(3n-2)=n(3n-1)/2 六边形数 N=1+5+9+…+(4n-3)=2n2-n 高阶等差序列 2 毕达哥拉斯学派与“万物皆数” 形数（figured numbers）理论可以上溯到毕达哥拉斯（Pythagoras, 569 B.C.～500 B. C.）本人。用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，等等，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系。早期毕达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石子或点来构造三角形数和正方形数；晚期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘（Nicomachus, 60?～120?）以及稍后的泰恩（Theon, 约2世纪上半叶）则讨论了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）。 2 毕达哥拉斯学派与“万物皆数” 后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在《算术引论》中将多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为 2 毕达哥拉斯学派与“万物皆数” 前四个四棱锥数为 1 1+4 1+4+9 1+4+9=16 第n个四棱锥数为 2 毕