常微分方程期末试题集.doc

常微分方程期终考试试卷(1) 填空题（30%） 1、方程有只含的积分因子的充要条件是（ ）。有只含的积分因子的充要条件是______________。 ２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。 ５、形如___________________的方程称为欧拉方程。 ６、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_____________________________。 ７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％） 1、 ２、 ３、若试求方程组的解并求expAt ４、 ５、求方程经过（0，0）的第三次近似解 6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题（１０％） １、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。 试卷答案 一填空题 １、　　　　 ２、　　　 　　　　　 ３、 　　　　　　　 ４、 ５、 ６、　 ７、零　　　　　　稳定中心 二计算题 １、解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得 所以解为 即另外y=0也是解 ２、线性方程的特征方程故特征根 是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0 所以原方程的解为 ３、解：解得此时 k=1 由公式expAt= 得 ４、解：方程可化为令则有（*） （*）两边对y求导： 即由得即将y代入（*）即方程的 含参数形式的通解为：p为参数 又由得代入（*）得：也是方程的解 ５、解： ６、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则 因为=1+1 0故有唯一零解（0，0） 由得故（3，-2）为稳定焦点。 三、??? 证明题 由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解： 考虑 从而是线性无关的。 常微分方程期终试卷(2) ? 一、填空题 30% 形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。 形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 如果存在常数_____________对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里 设的某一解，则它的任一解_____________-。 计算题40% 求方程 求方程的通解。 求方程的隐式解。 求方程 证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值. ? 《常微分方程》期终试卷答卷 填空题（每空5分） 1 2、 z= 3 4、 5、 计算题（每题10分） 1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得 代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z= 带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。 此外方程还有解y=0. 2、 解： 积分： 故通解为： 3、 解：齐线性方程的特征方程为， ，故通解为 不是特征根，所以方程有形如 把代回原方程 于是原方程通解为 4、 解 三、证明题（每题15分） 1、证明：令的第一列为(t)=,这时(t)==(t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)== (t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。 2、证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。 （2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t) 常微分方程期终试卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%) 1.??? 2xylnydx+{+}dy=0 2. =6-x 3. =2 4. x=+y 5.??? tgydx-ctydy=0 6.??? {y-x(+)}dx-xdy=0 7．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。 8. 已知f(x