理论力学第四讲201.doc

回 顾 目的：建立一种新的形式，使约束力和非独立坐标不出现在方程中使写出的方程就是我们要直接求解的个方程 完成目标之过程： （1）在方程中不出现约束力达朗贝尔方程（d’Alembert Equation）,但非独立坐标依然出现 （2）既不出现约束力又不出现非独立坐标拉格朗日方程（Lagrange Equation） 1．虚位移： 想象在某一时刻t 质点发生了一个约束许可的无限小的位移用表示 性质：（1）虚位移无限小，具有极限的特点 （2）只是想象中可能发生的，不是由质点的实际运动产生的 （3）它只决定于质点在时刻的位置和加在它上面的约束 （4）由于只考虑到一个时刻，时间没有改变因此 （5）实际位移只有一个，但虚位移可以不止一个 实位移与虚位移的比较 虚位移 实位移 共同点 满足约束的限制条件 满足约束的限制条件 不同点 与质点或质点系的实际运动无关，只是一种几何概念，即从几何上说明位移的可能性，可能有多个或无穷多个。 与时间过程、作用力以及质点或质点系运动的初始条件等均无关 是质点或质点系由于实际运动而产生的位移，因而在任何确定的时间内只有一个。 是在一段时间内所完成的，与作用在质点或质点系上的力有关，与运动的初始条件有关 表示方法 变分符号 微分符号 相互关系 在稳定约束的条件下，实际位移是虚位移中的一个 在非稳定约束条件下，由于约束在一段时间内也发生了变化，因此，实位移不再是虚位移中的一个 2．约束的概念和分类： 稳定约束和非稳定约束 不可解约束（约束方程用等式表示）和可解约束（约束方程用不等式表示） 几何约束（完整约束， and ）和 运动约束（微分约束，） 完整体系（只受完整约束的体系）和不完整体系 3．虚功： （5）理想约束 为约束力的合力 对于理想约束， 虚功原理：对于有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用在质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功为零。 4．达朗贝尔方程： 对于理想约束 达朗贝尔方程虽然不再出现约束力，但是方程中的坐标一般来说仍然不是独立的，需要将约束方程代入后才能得到通常的运动微分方程。 执行程序 牛顿力学的局限性和分析力学的建立 非自由质点系的约束和广义坐标 达朗贝尔方程 达朗贝尔方程 1.达朗贝尔方程 2．虚功原理应用 3．广义坐标 解：的重心坐标为：，的重心坐标为：， 由虚功原理得： 和 相互独立， 广义坐标：建立力学体系动力学方程所需要的独立坐标 性质：广义坐标确定了这个力学体系在空间中的位形，对于完整约束，广义坐标的数目与体系自由度相同，对于非完整体系，广义坐标的数目大于体系的自由度。 上面的例题中，我们可以取 和 也可以取： 理论上个坐标由于约束的存在，并不是完全独立的， 自由度：个质点构成的力学体系，如果有个完整约束，则独立坐标减少为个，这些独立的坐标就是力学体系的自由度。 令用独立的参数 其中 表示个坐标， 称为广义坐标，or 拉格朗日广义坐标 广义坐标不一定是长度，也可以是动量或面积等 4．用广义坐标表示的平衡方程： 带入到虚功原理方程： 由于相互独立，所以对于平衡系统广义力，广义力同样包括约束力。 求广义力的方法： 应用公式直接求解，如对于直角坐标系： 利用广义虚位移的任意性，令某一个不等于零，而其他的广义虚位移等于零，带入到虚功公式中得到广义力： 例： 约束方程： 系统有两个自由度，选取和为广义坐标，计算对应的广义力： 由第一种方法： 带入上式中得到： 用第二种方法解： 同理：保持不变，只有时， 两种方法得到的广义力相同。 例： 解： 自由度： （4）向右， ， 此时重物C的虚位移 对应于的广义坐标广义力为： （5），向下， 同理可得： 对应于平衡系统， 故： 因此，平衡时物块与台面的摩擦系数： 关于势场中的状况： 若作用在质点系上的主动力都是有势力，则势能应该是质点坐标的函数： 此时虚功中各力的投影都可以写成势能的表达形式： 于是有： 虚功原理的表达式为 在势场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零 对于广义坐标： 平衡条件： 在势场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对每一个广义坐标的偏导数分别等于零 上述结论对求解弹性系统的问题具有非常重要的意义。 例： 当 时， 由于： 上式可以写成： 将势能V 对求一阶导数： 由 得到系统平衡位置为：，判断是否处于稳定平衡： 对于稳定平衡： 或 达朗贝尔方程的例： 由达朗贝尔方程 系统的虚位移： 和 这是一个单自由度系